Multiples & nombres premiers — 4ème

Vu en 6ème et en 5ème. Comme $42 = 6 \times 7$ :

• $6$ et $7$ sont des diviseurs de $42$ ;
• $42$ est un multiple de $6$ et de $7$.

On trouve les diviseurs d'un nombre par paires : pour $36$, $1 \times 36$, $2 \times 18$, $3 \times 12$, $4 \times 9$, $6 \times 6$, donc $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.

Les critères de divisibilité évitent de poser la division :

Diviser $a$ par $b$ « avec reste », c'est trouver le quotient $q$ et le reste $r$ tels que

$a = b \times q + r \qquad \text{avec} \quad 0 \leq r < b$

Exemple : $157$ divisé par $6$. $6 \times 26 = 156$, il reste $1$ : $157 = 6 \times 26 + 1$.

La condition « $r < b$ » est essentielle : l'égalité $157 = 6 \times 25 + 7$ est vraie, mais ce n'est pas la division euclidienne, car avec un reste de $7$ on pouvait encore faire un paquet de $6$.

$b$ divise $a$ exactement quand le reste est nul.

Comparons les diviseurs de quelques nombres : $12$ en a six ($1, 2, 3, 4, 6, 12$), $9$ en a trois ($1, 3, 9$), $13$ n'en a que deux ($1$ et $13$).

Un nombre qui a exactement deux diviseurs, $1$ et lui-même, est un nombre premier. Les $25$ nombres premiers inférieurs à $100$ :

$1$ n'est pas premier (un seul diviseur). $2$ est le seul nombre premier pair.

Un nombre qui n'est pas premier se « casse » en un produit : $60 = 6 \times 10$. On continue tant qu'un facteur n'est pas premier : $60 = 2 \times 3 \times 2 \times 5$. On regroupe : $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.

Tout entier supérieur ou égal à $2$ a une seule décomposition (à l'ordre près). C'est sa « carte d'identité » : elle donne tous ses diviseurs.

✏️ Exemple — Décomposer 780

✏️ Exemple — Simplifier 140/135, reconnaître des fractions égales

« Partager sans reste » → on cherche un diviseur commun. Un fleuriste a $84$ roses et $60$ tulipes. Il veut faire le plus grand nombre possible de bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs. Le nombre de bouquets divise $84$ et $60$. $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ ; le plus grand diviseur commun est $2^2 \times 3 = 12$. Donc 12 bouquets, chacun de $7$ roses et $5$ tulipes.

« Quand est-ce que ça retombe ensemble ? » → on cherche un multiple commun. Un phare s'allume toutes les $6$ secondes, un autre toutes les $10$ secondes. Ils s'allument ensemble à l'instant $0$. Multiples de $6$ : $6, 12, 18, 24, \mathbf{30}$ ; multiples de $10$ : $10, 20, \mathbf{30}$. Ils se rallument ensemble au bout de 30 secondes.

$91$ a l'air premier, et ne l'est pas : $91 = 7 \times 13$. Ni pair, ni multiple de $3$ ($9 + 1 = 10$), ni de $5$… il fallait aller jusqu'à $7$. Même chose pour $51 = 3 \times 17$ et $57 = 3 \times 19$ : le critère par $3$ les démasque.

Et dans les problèmes, vérifie l'ordre de grandeur : un nombre de paquets est un diviseur, donc plus petit que les quantités de départ ; un moment de coïncidence est un multiple, donc plus grand que les durées.

Il y a une infinité de nombres premiers : Euclide l'a démontré il y a 2 300 ans. Certaines cigales d'Amérique du Nord sortent de terre tous les $13$ ou tous les $17$ ans, deux nombres premiers. Une hypothèse des biologistes : un cycle premier croise rarement celui d'un prédateur qui revient tous les $2$, $3$ ou $4$ ans.