Équations du premier degré

En 5ème, tu as appris à tester si une égalité est vraie pour une valeur donnée. Pour $x = 4$, l'égalité $3x + 2 = 14$ est vraie, car $3 \times 4 + 2 = 14$. Pour $x = 5$, elle est fausse : $3 \times 5 + 2 = 17 \neq 14$.

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie, sans les essayer une par une. Il te faudra aussi réduire : $5x - 2x = 3x$.

Une équation affirme que deux expressions sont égales. Résoudre, c'est trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent cette égalité vraie.

L'image de la balance dit tout : les deux plateaux s'équilibrent. Tout ce que tu fais d'un côté, tu dois le faire de l'autre — sinon l'équilibre est rompu et tu ne résous plus la même équation.

$x + 7 = 12 \quad \xrightarrow{\ -7 \text{ des deux côtés}\ } \quad x = 5$

$4x = 20 \quad \xrightarrow{\ \div 4 \text{ des deux côtés}\ } \quad x = 5$

⚠️ Une seule interdiction : ne jamais diviser par zéro.

✏️ Exemple — Résoudre et vérifier

✏️ Exemple — Quand une parenthèse s'en mêle

C'est l'usage réel des équations, et c'est un attendu de 4ème : « Il introduit une lettre pour désigner une valeur inconnue et met un problème en équation. »

1. Nommer l'inconnue : « je note $x$ le nombre de… ». Écris-le — c'est la moitié du travail.
2. Traduire chaque phrase de l'énoncé avec cette lettre.
3. Résoudre l'équation obtenue.
4. Répondre à la question posée — souvent ce n'est pas $x$ qu'on demande.

✏️ Exemple — Le triangle et le carré

Oublier de faire la même chose des deux côtés. Passer de $3x + 5 = 20$ à $3x = 20$ « en faisant disparaître le $5$ » casse l'égalité. On retire $5$ aux deux membres : $3x = 15$.

Ne pas vérifier. Une erreur de signe se voit rarement à la relecture, mais elle saute aux yeux à la vérification. Remplace toujours $x$ par ta réponse dans l'équation de départ — pas dans une ligne intermédiaire, qui peut déjà contenir l'erreur.

Le mot « algèbre » vient du titre du livre d'Al-Khwârizmî, vers 820 : al-jabr, « la remise en place ». Il désignait exactement le geste de ce chapitre — déplacer un terme d'un membre à l'autre pour rétablir l'équilibre. Le mot « algorithme », lui, vient du nom même de l'auteur. Un seul mathématicien, deux mots que tu emploies tous les jours.

Les attendus de fin d'année de 3ème ajoutent aux équations du premier degré « les équations s'y ramenant (équations produits) » et « les équations de la forme $x^2 = a$ sur des exemples simples ».

La règle est courte, et elle repose sur une propriété des nombres : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

$A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0$

Exemple : $(3x - 6)(x + 2) = 0$ donne $3x - 6 = 0$ ou $x + 2 = 0$, soit $x = 2$ ou $x = -2$. Une équation, deux solutions — ce qui ne peut pas arriver au premier degré.

Les inéquations ($ax + b < c$) ne figurent dans aucun des trois textes du cycle 4 : ni en 5ème, ni en 4ème, ni en 3ème. Tu les rencontreras en seconde.

Elles se résolvent comme une équation, avec une différence décisive :

Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Exemple : $-2x + 5 > 11$ donne $-2x > 6$, puis en divisant par $-2$ : $x < -3$ — le symbole a basculé.

Une inéquation n'a pas une solution mais une infinité : ici, tous les nombres inférieurs à $-3$.