Opérations & divisibilité — 5ème

Vu en 6ème. Comme $42 = 6 \times 7$, la division de $42$ par $6$ tombe juste :

• $6$ (et $7$) sont des diviseurs de $42$ ;
• $42$ est un multiple de $6$ (et de $7$).

Les multiples de $6$ sont les nombres de sa table : $0, 6, 12, 18, 24$… Les diviseurs de $42$ se trouvent par paires : $1 \times 42$, $2 \times 21$, $3 \times 14$, $6 \times 7$, donc $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$.

Quand la division ne tombe pas juste, on fait une division euclidienne : $17 = 3 \times 5 + 2$ (quotient $5$, reste $2$). Le reste est toujours plus petit que le diviseur.

Critères déjà connus : divisible par $2$ si le chiffre des unités est pair, par $5$ s'il vaut $0$ ou $5$, par $10$ s'il vaut $0$.

Pour $2$, $5$ et $10$, on regarde le dernier chiffre. Pour $3$ et $9$, ça ne marche pas : $13$ finit par $3$ mais n'est pas divisible par $3$. Il faut regarder tous les chiffres.

• Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
• Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Pourquoi ça marche ? Parce que $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1\,000 = 999 + 1$. Ainsi

$4\,527 = 4 \times 999 + 5 \times 99 + 2 \times 9 + (4 + 5 + 2 + 7)$

Les trois premiers morceaux sont des multiples de $9$ (donc de $3$). Tout dépend du dernier : la somme des chiffres.

On ne sait pas poser une division par $0{,}3$. Mais on sait que multiplier le dividende et le diviseur par le même nombre ne change pas le quotient — comme pour une fraction : $\dfrac{7{,}2}{0{,}3} = \dfrac{72}{3}$.

$7{,}2 \div 0{,}3 = 72 \div 3 = 24$

$4{,}5 \div 0{,}15 = 450 \div 15 = 30$

On multiplie par $10$ (un chiffre après la virgule au diviseur), par $100$ (deux chiffres)… jusqu'à ce que le diviseur devienne entier. Chaque chiffre des deux nombres gagne un rang : les dixièmes deviennent des unités.

• Dans une somme $a + b$, $a$ et $b$ sont les termes.
• Dans un produit $a \times b$, $a$ et $b$ sont les facteurs.

Pour nommer un calcul plus long, on cherche l'opération qu'on fait en dernier (en respectant les priorités) :

• $3 + 4 \times 5$ : on fait d'abord $4 \times 5$, puis l'addition → c'est une somme (de $3$ et de $4 \times 5$) ;
• $(3 + 4) \times 5$ : on fait d'abord la parenthèse, puis la multiplication → c'est un produit (de $3 + 4$ et de $5$).

$k \times (a + b) = k \times a + k \times b \qquad k \times (a - b) = k \times a - k \times b$

Elle sert dans les deux sens, pour calculer de tête :

• développer : $7 \times 102 = 7 \times 100 + 7 \times 2 = 700 + 14 = 714$ ;
• factoriser : $13 \times 7 + 13 \times 3 = 13 \times (7 + 3) = 13 \times 10 = 130$.

✏️ Exemple — Deux bus qui repartent ensemble

Divisible par $9$ ⇒ divisible par $3$, car $9 = 3 \times 3$. L'inverse est faux : $12$ est divisible par $3$ mais pas par $9$. Si tu cherches les deux, teste d'abord $9$.

Et pour être divisible par $2$ et par $9$, il faut les deux critères à la fois : $378$ est pair et $3 + 7 + 8 = 18$, il marche.

Diviser par un nombre plus petit que $1$ donne un résultat plus grand. $6 \div 0{,}5 = 12$ : dans $6$ il y a douze moitiés. Si ton résultat est plus petit que le dividende alors que tu divisais par $0{,}5$ ou $0{,}2$, il y a une erreur.

Autre piège : pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. « Tout nombre qui finit par $3$ est divisible par $3$ » est fausse : $13$ finit par $3$ et n'est pas divisible par $3$.

Avant les calculatrices, les comptables vérifiaient leurs multiplications avec la « preuve par neuf », qui repose exactement sur la somme des chiffres. Elle détecte beaucoup d'erreurs… mais pas toutes : inverser deux chiffres d'un résultat ne change pas leur somme, et passe inaperçu.