Entiers et divisibilité

Quand la division de $a$ par $b$ tombe juste (reste $0$), on dit que $b$ est un diviseur de $a$ et que $a$ est un multiple de $b$. Les deux phrases disent la même chose.

Exemple : $36 = 4 \times 9$, donc $4$ et $9$ sont des diviseurs de $36$, et $36$ est un multiple de $4$ et de $9$.

• Les multiples de $6$ sont les nombres de la table de $6$ : $0, 6, 12, 18, 24, 30$… Il y en a une infinité.
• Les diviseurs de $30$ sont tous les nombres qui divisent $30$ sans reste : $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$. On les trouve par paires : $1 \times 30$, $2 \times 15$, $3 \times 10$, $5 \times 6$.

Tout nombre est divisible par $1$ et par lui-même.

Pas besoin de poser la division : le chiffre des unités suffit.

Quand la division ne tombe pas juste, on écrit le résultat avec un reste :

$295 = 18 \times 16 + 7$

$295$ est le dividende, $18$ le diviseur, $16$ le quotient et $7$ le reste. Le reste est toujours plus petit que le diviseur : sinon, on pourrait encore mettre une fois le diviseur dans le dividende.

Elle répond à la question « combien de fois peut-on mettre $18$ dans $295$ ? » : avec $295$ roses, un fleuriste fait $16$ bouquets de $18$ roses, et il lui reste $7$ roses.

✏️ Exemple — Deux bus qui repartent ensemble

✏️ Exemple — Des paquets sans reste

Ne pas confondre multiple et diviseur. $6$ est un multiple de $3$ (car $6 = 3 \times 2$) et $3$ est un diviseur de $6$. Un diviseur est plus petit que le nombre (ou égal), un multiple est plus grand (ou égal).

Un reste plus grand que le diviseur. Écrire $50 = 6 \times 7 + 8$ est faux : $8 > 6$, on peut encore mettre un $6$. La bonne écriture est $50 = 6 \times 8 + 2$.

Les diviseurs vont toujours par deux : dès que tu trouves que $3$ divise $30$, tu as aussi trouvé $10$, car $3 \times 10 = 30$. Cherche les petits diviseurs, les grands viennent avec !

🚀 Pour aller plus loin. En 5ème, tu apprendras deux critères de plus : un nombre est divisible par $3$ quand la somme de ses chiffres l'est ($324$ : $3 + 2 + 4 = 9$, divisible par $3$), et par $9$ quand la somme de ses chiffres est divisible par $9$. Plus tard encore, tu rencontreras les nombres premiers, ceux qui n'ont que deux diviseurs, $1$ et eux-mêmes : $2, 3, 5, 7, 11, 13$…