Calcul littéral : développer, factoriser, réduire

En 5ème : une expression littérale contient une lettre qui remplace un nombre : $3x + 2$, où $3x$ veut dire $3 \times x$. Les termes semblables s'additionnent, $5x + 3x = 8x$, mais $5x + 3$ ne se réduit pas : un nombre de $x$ et un nombre seul ne se mélangent pas.

Tu as aussi vu que $2(x + 4)$ se calcule en distribuant le $2$ sur chaque terme : $2 \times x + 2 \times 4 = 2x + 8$. Cette fiche repart de là, et lit cette égalité dans les deux sens.

$k(a + b) = ka + kb$

De gauche à droite, on développe : le produit devient une somme. De droite à gauche, on factorise : la somme devient un produit.

C'est la même égalité. Tout le chapitre tient là-dedans — le reste n'est que de l'organisation et de la rigueur sur les signes.

✏️ Exemple — Développer et réduire

✏️ Exemple — Factoriser

Prendre le facteur commun le plus grand. $12x^2 - 8x$ se factorise en $2(6x^2 - 4x)$, en $4(3x^2 - 2x)$, en $x(12x - 8)$… mais la factorisation attendue est $4x(3x - 2)$ : on prend tout ce qui est commun, le nombre ET la lettre.

Un contrôle rapide : dans la parenthèse finale, les termes ne doivent plus rien avoir en commun.

C'est l'usage le plus intéressant du calcul littéral en 4ème, et c'est un attendu de fin d'année : « Il démontre l'équivalence de deux programmes de calcul. »

Tester sur quelques nombres ne prouve rien — il resterait une infinité de cas. Le calcul littéral, lui, traite tous les nombres d'un coup : on appelle $x$ le nombre choisi, on traduit chaque programme, on réduit, et on compare les deux expressions.

✏️ Exemple — Deux programmes qui donnent toujours la même chose

Le signe moins devant une parenthèse. $-(3x - 7)$ ne vaut pas $-3x - 7$ mais $-3x + 7$ : le moins se distribue sur tout l'intérieur. Écris-le comme $-1 \times (3x - 7)$ si tu hésites.

Additionner ce qui ne se ressemble pas. $3x + 2$ ne vaut pas $5x$. On ne regroupe que des termes semblables : les $x$ avec les $x$, les $x^2$ avec les $x^2$, les nombres avec les nombres.

Écrire $3x + 15$ au lieu de « triple ton nombre puis ajoute quinze » paraît un détail d'écriture. C'est en réalité le geste qui permet de démontrer : une phrase parle d'un nombre à la fois, une expression littérale parle de tous les nombres en même temps. Al-Khwârizmî, vers 820, rédigeait encore ses raisonnements en phrases entières ; il a fallu sept siècles pour que l'écriture $3x + 15$ s'impose — et elle a rendu triviales des démonstrations qui prenaient une page.

Les repères annuels du cycle 4 placent la suite en 3ème : « La double distributivité est abordée. Le lien est fait avec la simple distributivité. » En 4ème, seule la distributivité simple est exigible — rien de ce qui suit ne te sera demandé cette année.

Quand les deux facteurs sont des sommes, on multiplie chaque terme du premier par chaque terme du second — quatre produits :

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Ce n'est pas une règle nouvelle : en posant $k = a + b$, on retrouve la distributivité simple $k(c+d) = kc + kd$, puis on développe chacun des deux morceaux.

Exemple : $(2x + 3)(x - 5) = 2x^2 - 10x + 3x - 15 = 2x^2 - 7x - 15$.

Le programme de 3ème retient une factorisation particulière :

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Elle se démontre en développant le membre de droite : $a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2$ — les deux termes du milieu s'annulent.

Exemples de 3ème : $x^2 - 64 = (x+8)(x-8)$ et $4x^2 - 49 = (2x+7)(2x-7)$.

⚠️ Les formules $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, souvent apprises avec elle, ne figurent pas au programme du collège : elles arrivent en seconde.