✅ L'essentiel

Multiplier des fractions : \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}.
Diviser par une fraction = multiplier par son inverse : \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}.
Règle des signes : (+) \times (+) = (+) ; (−) \times (−) = (+) ; (+) \times (−) = (−).
Simplifier avant de calculer pour éviter les grands nombres.
L'inverse de \dfrac{a}{b} est \dfrac{b}{a} (avec a \neq 0 et b \neq 0).

📖 Rappel — Additionner des relatifs, écrire une fraction

En 5ème, tu as appris à additionner et soustraire des nombres relatifs : $(-3) + 5 = 2$ (on avance de $5$ à partir de $-3$ ), et $4 - 7 = 4 + (-7) = -3$ : soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

Tu sais aussi qu'une fraction est un quotient : $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4$ , et qu'on ne la change pas en multipliant (ou divisant) numérateur et dénominateur par le même nombre : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$ .

Cette année, on multiplie et divise ces nombres : les deux savoir-faire se combinent.

📖 Règle des signes

Pour un produit ou un quotient de deux relatifs :

Même signe → résultat positif.
Signes différents → résultat négatif.

On détermine d'abord le signe du résultat, puis on calcule avec les nombres sans leur signe (leurs distances à zéro) : $(-4) \times 7$ est négatif, et $4 \times 7 = 28$ , donc $(-4) \times 7 = -28$ .

🔢 Méthode — Multiplier deux fractions

Repérer les facteurs communs entre numérateurs et dénominateurs (simplifications croisées).
Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Déterminer le signe avec la règle des signes.
Simplifier le résultat final si possible.

✏️ Exemple — Produit et quotient

🔢 Méthode — Simplifier une fraction relative

Mettre le signe de côté, puis décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers.
Simplifier tous les facteurs communs aux deux.
Mettre le signe devant la fraction finale.
Exemple : 24 = 2^3 \times 3 et 36 = 2^2 \times 3^2, facteurs communs 2^2 \times 3 = 12, donc \dfrac{-24}{36} = \dfrac{-2}{3}.

⚠️

$(-2)^3 = -8$ mais $-2^3 = -(2^3) = -8$ aussi. En revanche, $(-2)^2 = +4$ alors que l'expression $-2^2 = -4$ (le signe n'est pas dans la base). Toujours mettre les relatifs entre parenthèses avant d'élever à une puissance.

Pour les signes : compte le nombre de facteurs négatifs. Si c'est pair → résultat positif. Si c'est impair → résultat négatif. Exemple : $(-2) \times (-3) \times (-1) = -6$ (3 négatifs = impair → négatif).

🎯 Mini-quiz

1. \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{4} =

2. L'inverse de -\dfrac{5}{3} est :

3. (−3) \times (−4) \times (−2) =

Fractions & nombres relatifs — Multiplication et division — 4ème

Pour aller plus loin

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