✅ À retenir

Suite convergente : u_n \to \ell (limite finie). Divergente : u_n \to \pm\infty ou pas de limite du tout.
**Limite monotone** : toute suite croissante et majorée converge. **Récurrence** : initialisation + hérédité, jamais l'une sans l'autre.
Gendarmes : si a_n \leq u_n \leq b_n et a_n, b_n \to \ell, alors u_n \to \ell.
TVI : f continue sur [a,b], f(a)\cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists\, c \in ]a,b[ tel que f(c)=0.

📖 Définition — Limite d'une suite

$(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang.

$(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $[A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang.

Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers $\pm\infty$ , soit elle n'a pas de limite du tout (comme $(-1)^n$ ).

Opérations sur les limites (si $u_n \to \ell$ et $v_n \to m$ ) :

Opération	Limite
$u_n + v_n$	$\ell + m$
$u_n \times v_n$	$\ell \times m$
$u_n / v_n$ (si $m \neq 0$ )	$\ell / m$

Formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty/\infty$ , $0/0$ → factoriser le terme prépondérant, ou utiliser le théorème des gendarmes.

Suite géométrique $(q^n)$ :

$q$	$q \leq -1$	$-1 < q < 1$	$q = 1$	$q > 1$
$\lim q^n$	pas de limite	$0$	$1$	$+\infty$

Théorème de la limite monotone (admis) : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Attention, ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur.

📖 Définition — Continuité et TVI

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Toute fonction dérivable est continue. Fonctions usuelles continues sur leur domaine : polynômes, fractions rationnelles, $e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ .

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$ .

Si de plus $f$ est strictement monotone, ce $c$ est unique.

🔢 Méthode — Raisonner par récurrence

Énoncer clairement la propriété P(n) à démontrer, pour tout n ≥ n₀.
INITIALISATION : vérifier que P(n₀) est vraie (calcul explicite).
HÉRÉDITÉ : supposer P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ quelconque fixé (hypothèse de récurrence).
Démontrer alors que P(n+1) est vraie, en UTILISANT explicitement l'hypothèse.
CONCLUSION : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
Sans initialisation, la démonstration ne vaut rien : une propriété héréditaire mais jamais amorcée est fausse partout.

✏️ Exemple — Récurrence et limite monotone

✏️ Exemple — Application du TVI

⚠️

Le TVI donne l'existence d'une solution, pas sa valeur exacte. Pour la trouver numériquement, utilise la dichotomie (bisection). Aussi : le TVI ne s'applique que si f est continue — toujours vérifier cette hypothèse.

Le TVI est une des rares garanties d'existence en mathématiques : sans savoir où exactement, il te dit qu'une solution existe quelque part. Dans la vraie vie, c'est le fondement de tous les algorithmes de recherche de racines (Newton, dichotomie...).

🎯 Mini-quiz

1. Suite uₙ = (−1)ⁿ. Elle :

2. Limite de la suite uₙ = 0,8ⁿ quand n → +∞ ?

3. Dans une démonstration par récurrence, on prouve l'hérédité mais on oublie l'initialisation. Alors :

Suites, limites et continuité

Pour aller plus loin

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