Suites, limites et continuité

En première : une suite est définie de façon explicite ($u_n = 3n + 1$) ou par récurrence ($u_{n+1} = 2u_n - 1$ avec $u_0$ donné). Suite arithmétique : $u_n = u_0 + nr$ ; géométrique : $u_n = u_0 \, q^n$.

Son sens de variation se lit sur le signe de $u_{n+1} - u_n$. Et tu as observé que $2^n$ devient immense tandis que $0{,}5^n$ s'écrase vers 0 : la notion de limite rend cette intuition rigoureuse.

$(u_n)$ converge vers $\ell \in \mathbb{R}$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang.

$(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $[A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d'un certain rang.

Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers $\pm\infty$, soit elle n'a pas de limite du tout (comme $(-1)^n$).

Opérations sur les limites (si $u_n \to \ell$ et $v_n \to m$) :

Formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\infty/\infty$, $0/0$ → factoriser le terme prépondérant, ou utiliser le théorème des gendarmes.

Suite géométrique $(q^n)$ :

Théorème de la limite monotone (admis) : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Attention, ce théorème donne l'existence de la limite, pas sa valeur.

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Toute fonction dérivable est continue. Fonctions usuelles continues sur leur domaine : polynômes, fractions rationnelles, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$.

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) :

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = 0$.

Si de plus $f$ est strictement monotone, ce $c$ est unique.

✏️ Exemple — Récurrence et limite monotone

✏️ Exemple — Application du TVI

• $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ (limite finie) : la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.
• $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (limite infinie en un point) : la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Exemple : $f(x) = \dfrac{2x}{x - 3}$. Le dénominateur s'annule en $3$ (numérateur non nul) : asymptote verticale $x = 3$. En factorisant par $x$, $f(x) = \dfrac{2}{1 - 3/x} \to 2$ en $+\infty$ : asymptote horizontale $y = 2$.

Pour aller plus loin (approfondissement) : la méthode de Héron $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \dfrac{a}{u_n}\right)$ converge vers $\sqrt{a}$ : en passant à la limite, $\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{a}{\ell}\right)$ donne $\ell^2 = a$.

Le TVI donne l'existence d'une solution, pas sa valeur exacte. Pour la trouver numériquement, utilise la dichotomie (bisection). Aussi : le TVI ne s'applique que si f est continue — toujours vérifier cette hypothèse.

Le TVI est une des rares garanties d'existence en mathématiques : sans savoir où exactement, il te dit qu'une solution existe quelque part. Dans la vraie vie, c'est le fondement de tous les algorithmes de recherche de racines (Newton, dichotomie...).