✅ À retenir

Ordre **oui** : k-uplets d'éléments distincts, A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}. Ordre **non** : combinaisons, \dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Binôme : (a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}. Pascal : \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}.
Complémentarité : \text{card}(\bar{A}) = \text{card}(E)-\text{card}(A). Souvent plus simple de compter l'opposé.

📖 Définition — Principes fondamentaux

Principe multiplicatif : Si une tâche se décompose en $k$ étapes successives et indépendantes, de $n_1, n_2, \ldots, n_k$ choix chacune, alors le nombre total de façons est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ .

Objet	Formule	Ordre ?	Répétition ?
$k$ -uplets (ou $k$ -listes) d'un ensemble à $n$ éléments	$n^k$	Oui	Oui
$k$ -uplets d'éléments distincts (arrangements) $A_n^k$	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	Oui	Non
Permutations d'un ensemble à $n$ éléments	$n!$	Oui	Non
Combinaisons $\binom{n}{k}$ (parties à $k$ éléments)	$\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$	Non	Non

Cas particuliers utiles : $\dbinom{n}{0}=1$ , $\dbinom{n}{1}=n$ , $\dbinom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ , et symétrie $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}$ .

Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$ — c'est aussi $\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}$ , puisqu'on classe les parties selon leur nombre d'éléments.

📖 Définition — Triangle de Pascal et binôme de Newton

Relation de Pascal : $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$

Formule du binôme :

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

Cas particuliers : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ , $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .

Chaque nombre est la somme des deux au-dessus (relation de Pascal). La ligne $n$ donne les coefficients de $(a+b)^n$ .

🔢 Méthode — Dénombrer avec complémentarité

Si compter A directement est difficile, compter Ā (l'opposé) peut être plus simple.
Appliquer : card(A) = card(E) − card(Ā).
Exemple classique : 'au moins un...' → 1 − P(aucun...)'.
Vérifier que E est bien défini et que A et Ā forment une partition de E.

✏️ Exemple — Dénombrement d'un comité

✏️ Exemple — Développement du binôme

⚠️

L'ordre compte en arrangements, pas en combinaisons. Choisir 3 membres d'un comité = combinaison (l'ordre d'élection ne compte pas). Créer un code PIN = arrangement (1234 ≠ 4321). Toujours demander : l'ordre est-il important ?

Le dénombrement, c'est la science de "compter intelligemment". Avant de calculer, pose-toi toujours trois questions : les objets sont-ils distinguables ? L'ordre importe-t-il ? Y a-t-il répétition ? Les réponses déterminent quelle formule utiliser.

🎯 Mini-quiz

1. C(7,3) = ?

2. Combien de podiums (1er, 2e, 3e) distincts avec 6 concurrents ?

3. Coefficient de x² dans le développement de (x+2)⁴ ?

Combinatoire et dénombrement

Pour aller plus loin

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