Dérivation — Première Spécialité

En seconde : le coefficient directeur de la droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ est $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ : la pente, c'est « de combien on monte quand on avance de 1 ».

Sur la courbe d'une fonction $f$, entre les points d'abscisses $a$ et $a+h$, la pente de la corde vaut $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : c'est le taux d'accroissement. La dérivée est ce que devient cette pente quand $h$ se rapproche de 0.

(La formule $x^n \mapsto nx^{n-1}$ vaut pour tout $n$ entier relatif : elle redonne bien $\left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -x^{-2}$.)

Opérations sur les fonctions dérivables :

• $(u+v)' = u'+v'$
• $(ku)' = ku'$
• $(uv)' = u'v + uv'$
• $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$
• $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Près de $a$, la courbe et sa tangente sont presque confondues. Pour $h$ petit :

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \times h$

Exemple : $f(x)=\sqrt{x}$, $a=1$ : $f(1)=1$ et $f'(1)=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}=\dfrac{1}{2}$. Donc $\sqrt{1{,}02} \approx 1 + 0{,}5 \times 0{,}02 = 1{,}01$ (valeur exacte : $1{,}00995...$).

✏️ Exemple — Optimisation

Simplifie AVANT de dériver. Beaucoup d'élèves dégainent la formule du quotient sur $f(x) = \dfrac{3x^2}{x}$… alors que $f(x) = 3x$ et $f'(x) = 3$. Développe, réduis, simplifie d'abord : tu diviseras par trois le risque d'erreur.

Attention quand même : $f'(x_0)=0$ ne garantit pas un extremum (pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ et pourtant $f$ est croissante). Seul le changement de signe de $f'$ le prouve.

$(uv)' \neq u'v'$. La dérivée d'un produit est $u'v + uv'$ — les deux termes croisés ! C'est l'erreur de dérivation la plus fréquente. Mémorise : "dérivée du premier × le second, PLUS le premier × dérivée du second."

La dérivée, c'est la "vitesse instantanée" d'une fonction — comment elle change en un instant donné. Là où la dérivée est nulle, la fonction "s'arrête" de monter ou descendre : c'est potentiellement un extremum. C'est le fondement de l'optimisation.