Géométrie de l'espace

Pour $\vec{u}(x_u, y_u, z_u)$ et $\vec{v}(x_v, y_v, z_v)$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$

Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Équation cartésienne : $ax + by + cz + d = 0$

Le vecteur $\vec{n}(a,b,c)$ est normal au plan (perpendiculaire à tous ses vecteurs).

Plan passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ :

$a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$

Distance d'un point $P(x_P,y_P,z_P)$ au plan $ax+by+cz+d=0$ :

$d = \frac{|ax_P + by_P + cz_P + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

C'est la distance de $P$ à son projeté orthogonal sur le plan, c'est-à-dire au point du plan le plus proche de $P$.

Une droite est caractérisée par un point $A(x_A,y_A,z_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(\alpha,\beta,\gamma)$ non nul. Un point $M(x,y,z)$ appartient à la droite si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$, d'où :

$\begin{cases} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \\ z = z_A + \gamma t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

À retenir : une droite dans l'espace se décrit par un système paramétré (un paramètre $t$), un plan par une équation cartésienne unique. Deux systèmes très différents peuvent décrire la même droite : il suffit que les vecteurs directeurs soient colinéaires et qu'un point soit commun.

Intersection droite / plan : on remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique dans l'équation du plan, puis on résout en $t$. Une solution unique → un point d'intersection ; aucune solution → droite strictement parallèle au plan ; une infinité → droite contenue dans le plan.

✏️ Exemple — Plan défini par trois points

Pour trouver un vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ à un plan défini par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$, résous le système $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$ : deux équations pour trois inconnues, donc fixe librement une coordonnée (par exemple $c=1$) et déduis les deux autres. N'importe quel vecteur non nul colinéaire au résultat convient tout aussi bien.

En 3D, deux droites "non parallèles" ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent être gauches (ni parallèles ni sécantes). Toujours vérifier l'existence d'un point d'intersection avant de conclure.

La géométrie de l'espace, c'est passer de la feuille (2D) au monde réel (3D). Les mêmes outils — vecteurs, produit scalaire, équations — fonctionnent, juste avec une coordonnée de plus. La vision spatiale est la clé !