✅ À retenir

Suite explicite : u_n = f(n). Par récurrence : u_{n+1} = f(u_n), u_0 donné.
Monotonie : u_{n+1} - u_n > 0 \Rightarrow croissante. Ou u_{n+1}/u_n > 1 si tous les termes > 0.
Sommes à connaître : 1+2+\dots+n = \dfrac{n(n+1)}{2} et, pour q \neq 1, 1+q+\dots+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.

📖 Définition — Types de définition

Type	Exemple	Calcul de u_n
Explicite	$u_n = 3n + 1$	Direct
Récurrence	$u_{n+1} = 2u_n - 1$ , $u_0 = 3$	Terme par terme
Arithmétique	$u_{n+1} = u_n + r$	$u_n = u_0 + nr$
Géométrique	$u_{n+1} = q \cdot u_n$	$u_n = u_0 \cdot q^n$

(Si la suite commence au rang $p$ : $u_n = u_p + (n-p)r$ et $u_n = u_p \cdot q^{\,n-p}$ .)

📖 Définition — Sommes de termes consécutifs

Somme des entiers :

$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Preuve (Gauss) : on écrit la somme $S$ dans un sens puis dans l'autre et on additionne terme à terme : chacune des $n$ paires vaut $n+1$ , donc $2S = n(n+1)$ .

Somme des puissances ( $q \neq 1$ ) :

$1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$

Preuve : $S - qS = 1 - q^{\,n+1}$ (tous les termes intermédiaires se télescopent), d'où $S(1-q) = 1 - q^{\,n+1}$ .

En pratique, pour une suite arithmétique : $u_0 + \dots + u_n = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{1}^{\text{er}} + \text{dernier}}{2}$ . Pour une suite géométrique : $u_0 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1-q}$ .

🔢 Méthode — Étudier le sens de variation d'une suite

Calcule la différence u_{n+1} − u_n et exprime-la en fonction de n.
Détermine son signe : positif pour tout n → croissante ; négatif → décroissante.
Variante (uniquement si tous les termes sont STRICTEMENT POSITIFS) : compare le quotient u_{n+1}/u_n à 1.
Cas particuliers immédiats : une suite arithmétique varie selon le signe de r ; une suite géométrique de premier terme positif croît si q > 1 et décroît si 0 < q < 1.
Si la suite est définie par u_n = f(n) avec f connue, le sens de variation de f sur [0 ; +∞[ suffit à conclure.

🔢 Méthode — Calculer une somme de termes consécutifs

Identifier la nature de la suite : arithmétique (différence constante) ou géométrique (rapport constant).
COMPTER les termes : de u_p à u_n il y a n − p + 1 termes (le fameux « +1 » oublié !).
Arithmétique : S = (nombre de termes) × (premier + dernier) / 2.
Géométrique de raison q ≠ 1 : S = (premier terme) × (1 − q^(nombre de termes)) / (1 − q).
Vérifier l'ordre de grandeur du résultat sur les 2 ou 3 premiers termes.

✏️ Exemple — Deux sommes

💡

Recherche de seuil. « À partir de quel rang $u_n$ dépasse-t-elle $10\,000$ ? » En première, on ne résout pas cette inéquation : on tabule les termes jusqu'à franchir le seuil (calculatrice, tableur ou petit programme).

u = 1000 ; n = 0
tant que u < 10000 :
    u = u * 1.04
    n = n + 1

Le programme s'arrête dès le franchissement et renvoie le rang cherché.

⚠️

Arithmétique ou géométrique ? Arithmétique = on ajoute toujours le même nombre ( $u_{n+1} = u_n + r$ ). Géométrique = on multiplie toujours par le même nombre ( $u_{n+1} = q\,u_n$ ).

Le test infaillible : calcule les différences ET les rapports des premiers termes ; c'est celui des deux qui est constant qui donne la nature. Pour $2, 6, 18, 54$ : différences $4, 12, 36$ (non constantes), rapports $3, 3, 3$ → géométrique de raison 3.

Et n'oublie jamais de compter les termes : de $u_0$ à $u_{10}$ il y en a 11, pas 10.

Notre intuition raisonne en additif, jamais en multiplicatif — et c'est là qu'elle se fait piéger. Un placement à $+4\,\%$ par an paraît dérisoire ? C'est une suite géométrique : le capital double en 18 ans et se retrouve multiplié par plus de 50 en un siècle.

Même piège dans la légende de l'échiquier : un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième… À la 64ᵉ case, il faut plus de 18 milliards de milliards de grains, soit mille ans de récoltes mondiales.

🎯 Mini-quiz

1. u₀=1, u_{n+1}=3u_n. Quel est u₃ ?

2. u_{n+1} − u_n = 1/(n+1) > 0 pour tout n. La suite est :

3. 1 + 2 + 3 + … + 100 = ?

Suites — Première Spécialité

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