✅ L'essentiel

(\ln x)' = \dfrac{1}{x} (x>0). (\ln u)' = \dfrac{u'}{u}. (e^u)' = u'e^u.
f''(x) > 0 sur I \Rightarrow f convexe (courbe au-dessus des tangentes). f''<0 \Rightarrow concave.
Point d'inflexion : f'' change de signe en ce point. f''(a)=0 seul n'est pas suffisant.

📖 Rappel — Dérivation de première

En première : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ , $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(e^x)' = e^x$ ; pour les opérations, $(uv)' = u'v + uv'$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Le signe de $f'$ donne les variations de $f$ , et la tangente en $a$ a pour équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ . Cette année, on ajoute $\ln$ , les fonctions composées, et la dérivée seconde pour la convexité.

📖 Formules de dérivation — rappel et compléments

Fonction	Dérivée	Conditions
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$	$u > 0$
$x^a$ ( $a \in \mathbb{R}$ )	$ax^{a-1}$	$x > 0$
$(u \circ v)(x)$	$v'(x) \cdot u'(v(x))$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$u \neq 0$

📖 Convexité

Définition : $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est située en dessous de chacune de ses sécantes (les cordes). Elle est concave si la courbe est au-dessus de ses cordes.

Caractérisations équivalentes (admises), pour $f$ deux fois dérivable sur $I$ :

$f \text{ convexe sur } I \iff f'' \geq 0 \text{ sur } I \iff f' \text{ croissante} \iff \mathcal{C}_f \text{ au-dessus de ses tangentes}$

Symétriquement, $f$ concave $\iff f'' \leq 0$ sur $I$ , et la courbe est en dessous de ses tangentes.

Point d'inflexion : point où $f''$ change de signe — la courbe traverse sa tangente et change de courbure.

🔢 Méthode — Étude complète d'une fonction (plan)

1. Domaine de définition.
2. Limites aux bornes du domaine (asymptotes verticales, horizontales, obliques).
3. Dérivée f'(x) : tableau de signes, variations de f, extrema.
4. Dérivée seconde f''(x) : convexité, points d'inflexion.
5. Tableau récapitulatif de variations.
6. Points remarquables (intersections avec les axes, points d'inflexion).
7. Tracé de la courbe.

✏️ Exemple — Dérivée d'une fonction logarithmique

⚠️

$f''(x_0) = 0$ ne suffit pas pour un point d'inflexion. Il faut que $f''$ change de signe autour de $x_0$ . Exemple : $f(x) = x^4$ a $f''(0) = 0$ mais pas de point d'inflexion (f est convexe partout).

L'étude complète d'une fonction, c'est le portrait complet d'une courbe : où elle monte, où elle descend, où elle est courbée vers le haut ou le bas, ses asymptotes. Chaque étape apporte une information différente sur la "personnalité" de la fonction.

🎯 Mini-quiz

1. Dérivée de f(x) = ln(x²+1) ?

2. f''(x) > 0 sur I signifie que f est :

3. Dérivée de f(x) = e^(sin x) ?

Dérivation avancée — Terminale

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