✅ À retenir
- Une fonction f est **continue en a** si \lim_{x \to a} f(x) = f(a) (pas de saut, pas de trou).
- Toute fonction dérivable est continue (mais la réciproque est fausse).
- **TVI** : si f est continue sur [a;b] et f(a) \cdot f(b) < 0, alors f admet au moins un zéro sur ]a;b[.
- **Corollaire (bijectivité)** : si f est continue et **strictement monotone** sur [a;b], pour tout k \in [f(a);f(b)], l'équation f(x)=k a une **unique** solution dans [a;b].
- Méthode de **dichotomie** : couper l'intervalle en deux jusqu'à la précision voulue.
📖 Définition — Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit une fonction continue sur un segment .
Théorème : Pour tout réel compris entre et , il existe au moins un réel tel que .
Cas particulier : si et sont de signes contraires (), alors s'annule sur .
🔢 Méthode — Algorithme de dichotomie
- Partir d'un intervalle [a;b] avec f(a) \cdot f(b) < 0.
- Calculer le milieu m = \dfrac{a+b}{2} et évaluer f(m).
- Si f(m) = 0 : m est solution. Sinon choisir le sous-intervalle où le signe change.
- Répéter jusqu'à obtenir la précision souhaitée (longueur < 10^{-n}).
✏️ Exemple — TVI appliqué
Le TVI garantit l'existence d'un zéro, pas l'unicité. Sans monotonie stricte, il peut y en avoir plusieurs. Pour l'unicité, il faut ajouter l'hypothèse que est strictement monotone (corollaire).
La dichotomie est à la base des algorithmes de recherche en informatique (recherche dichotomique dans un tableau trié) et des méthodes numériques pour résoudre des équations. À chaque étape, tu gagnes un chiffre significatif !
🎯 Mini-quiz
1. Que garantit le TVI si $f$ est continue sur $[a;b]$ et $f(a)\cdot f(b)<0$ ?
2. Après une étape de dichotomie sur $[2;3]$ avec milieu $2{,}5$ et $f(2{,}5)>0$, $f(2)<0$, le nouvel intervalle est :
3. Une fonction dérivable sur $[a;b]$ est-elle nécessairement continue ?