Calcul littéral

Dans l'expression $5x + 2 + 3x - 1$ :

• $5x$, $2$, $3x$ et $-1$ sont des termes ; dans le terme $5x$, le nombre $5$ est le coefficient de $x$ ;
• $5x$ et $3x$ sont des termes semblables (même lettre $x$) ; $2$ et $-1$ sont des termes semblables (des nombres) ;
• Forme réduite : $8x + 1$.

Une expression réduite s'écrit sous la forme $ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres. Rappel d'écriture : $3 \times x$ s'écrit $3x$, et $1 \times x$ s'écrit $x$.

✏️ Exemple — Réduire et évaluer

✏️ Exemple — Développer avec la distributivité

Avant tout calcul, il faut savoir nommer une expression par sa dernière opération :

• $5(x + 4)$ est un produit : le facteur $5$ multiplie la parenthèse.
• $5x + 20$ est une somme : elle est faite de deux termes.

L'égalité $k(a+b) = ka + kb$ se lit dans les deux sens :

• de gauche à droite, on développe (produit $\rightarrow$ somme) : $5(x+4) = 5x + 20$ ;
• de droite à gauche, on factorise (somme $\rightarrow$ produit) quand le facteur commun est apparent : $5x + 5 \times 4 = 5(x + 4)$. (Chercher un facteur caché, comme dans $6x+15$, c'est pour la 4e.)

Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. Pour tester l'égalité $3x + 2 = 2x + 7$ pour $x = 5$ : à gauche $3 \times 5 + 2 = 17$, à droite $2 \times 5 + 7 = 17$ — l'égalité est vraie pour $x = 5$. Pour $x = 2$ : $8 \neq 11$, elle est fausse. Tester, c'est substituer des deux côtés et comparer.

Quand la lettre désigne un nombre inconnu qu'on cherche, l'égalité s'appelle une équation. En 5ème, on résout deux types d'équations avec l'opération inverse :

• $x + b = c$ : on soustrait. Si $x + 7 = 12$, alors $x = 12 - 7 = 5$.
• $a \times x = c$ : on divise. Si $4x = 20$, alors $x = 20 \div 4 = 5$.

On vérifie toujours en remplaçant : $5 + 7 = 12$ ✓ et $4 \times 5 = 20$ ✓.

Distribuer à moitié. $3(x + 4) \neq 3x + 4$ : le facteur $3$ multiplie chaque terme de la parenthèse, donc $3(x+4) = 3x + 12$.

Additionner des termes non semblables. $3x + 2y \neq 5xy$. On ne peut pas regrouper des termes avec des lettres différentes.

Les lettres en maths, ce ne sont que des "boîtes mystères". Réduire une expression, c'est ranger ces boîtes par type avant d'ouvrir !