Théorème de Thalès — 4ème

En 5ème, dans un tableau de proportionnalité, deux colonnes forment des quotients égaux : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$, et on complète une case manquante avec le coefficient ou en multipliant une colonne entière. Le produit en croix vu cette année (fiche Proportionnalité 4ème) fait la même chose en une ligne : si $\dfrac{3}{4} = \dfrac{x}{10}$, alors $4 \times x = 3 \times 10$, donc $x = 7{,}5$.

Deux mots de géométrie à avoir en tête : des points alignés sont sur une même droite ; deux droites parallèles ne se coupent jamais, ce qu'on note $(DE) \parallel (BC)$.

Soit $A$ un point, $(BC)$ et $(DE)$ deux droites parallèles. Si $B$, $D$, $A$ sont alignés et $C$, $E$, $A$ sont alignés, alors :

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Ces trois rapports sont égaux au rapport de réduction (ou d'agrandissement).

✏️ Exemple — Calcul d'une longueur

Mélanger les rapports. Chaque fraction doit comparer deux longueurs du même triangle, prises dans le même ordre : $\dfrac{AD}{AB}$ (petit sur grand) va avec $\dfrac{AE}{AC}$ et $\dfrac{DE}{BC}$, jamais avec $\dfrac{AC}{AE}$. Écris toujours les trois rapports en entier avant de remplacer par les nombres.

🚀 Configuration papillon (programme de 3ème). Quand le point $O$ est entre les deux parallèles, les rapports s'écrivent $\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{AC}{BD}$ : le sommet $O$ est toujours au numérateur et au dénominateur. L'erreur classique est de recopier l'habitude de la configuration triangle en mettant le segment entier au dénominateur : ici c'est $\dfrac{OA}{OB}$ et non $\dfrac{OA}{AB}$, car $O$ est entre $A$ et $B$, donc $AB = OA + OB$.

Deux triangles sont égaux quand ils sont superposables : mêmes longueurs de côtés et mêmes angles, deux à deux. Pas besoin de tout vérifier : chacun de ces trois cas suffit.

1. Trois côtés deux à deux de même longueur.
2. Un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur.
3. Un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure.

Ensuite, on en déduit les autres éléments : si $ABC$ et $DEF$ sont égaux avec $A$ sur $D$, $B$ sur $E$ et $C$ sur $F$, alors $BC = EF$ et $\widehat{ACB} = \widehat{DFE}$.

✏️ Exemple — La diagonale d'un losange

Trois angles égaux ne suffisent pas : un triangle et son agrandissement ont les mêmes angles, mais pas la même taille. Ils sont semblables, pas égaux.

Et dans le cas 2, l'angle doit être compris entre les deux côtés : avec deux côtés égaux et un angle égal ailleurs, on peut construire deux triangles différents.

Le théorème de Thalès est au cœur de toutes les histoires d'agrandissement et de réduction : photos, cartes, plans d'architecte. Si tu doubles toutes les distances depuis un point, toutes les longueurs sont multipliées par 2 — c'est Thalès !