Théorème de Thalès — 4ème

Soit $A$ un point, $(BC)$ et $(DE)$ deux droites parallèles. Si $B$, $D$, $A$ sont alignés et $C$, $E$, $A$ sont alignés, alors :

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Ces trois rapports sont égaux au rapport de réduction (ou d'agrandissement).

✏️ Exemple — Calcul d'une longueur

Mélanger les rapports. Chaque fraction doit comparer deux longueurs du même triangle, prises dans le même ordre : $\dfrac{AD}{AB}$ (petit sur grand) va avec $\dfrac{AE}{AC}$ et $\dfrac{DE}{BC}$, jamais avec $\dfrac{AC}{AE}$. Écris toujours les trois rapports en entier avant de remplacer par les nombres.

Configuration papillon. Quand le point $O$ est entre les deux parallèles, les rapports s'écrivent $\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} = \dfrac{AC}{BD}$ : le sommet $O$ est toujours au numérateur et au dénominateur. L'erreur classique est de recopier l'habitude de la configuration triangle en mettant le segment entier au dénominateur : ici c'est $\dfrac{OA}{OB}$ et non $\dfrac{OA}{AB}$, car $O$ est entre $A$ et $B$, donc $AB = OA + OB$.

Le théorème de Thalès est au cœur de toutes les histoires d'agrandissement et de réduction : photos, cartes, plans d'architecte. Si tu doubles toutes les distances depuis un point, toutes les longueurs sont multipliées par 2 — c'est Thalès !