✅ À retenir
- Dans un tableau de proportionnalité, on passe d'une ligne à l'autre en multipliant toujours par le même nombre : le **coefficient de proportionnalité**.
- Propriétés de **linéarité** : si 3 croissants coûtent 3,60 € et 5 croissants 6 €, alors 8 croissants coûtent 3,60 + 6 = 9,60 € (on additionne les colonnes).
- Sur un graphique, une situation de proportionnalité donne des points **alignés avec l'origine**.
- Échelle = \dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}, les deux dans la même unité.
📖 Définition — Coefficient de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si on obtient l'une en multipliant l'autre par un nombre fixe, appelé coefficient de proportionnalité.
| Nombre de croissants | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix payé (€) | 3,60 | 6,00 | 9,60 |
Ici ; ; : le coefficient vaut 1,20 € — c'est le prix d'un croissant. On dit qu'on est passé par le retour à l'unité.
Ce même coefficient permet de compléter n'importe quelle case : 12 croissants coûtent €.
📖 Définition — Échelle d'un plan
L'échelle d'une carte ou d'un plan est le coefficient de proportionnalité qui fait passer des distances réelles aux distances sur le papier :
Les deux distances doivent être exprimées dans la même unité. Une échelle de signifie que 1 cm sur la carte représente 25 000 cm dans la réalité, soit 250 m.
📖 Définition — Les propriétés de linéarité
Pas besoin du coefficient pour tout ! Si une situation est proportionnelle :
- On peut additionner deux colonnes : le prix de croissants = prix de 3 + prix de 5.
- On peut multiplier une colonne : le prix de 6 croissants = (prix de 3 croissants).
Ces deux propriétés permettent de trouver une quatrième valeur de tableau sans jamais poser de formule — c'est la méthode reine en 5e.
📖 Définition — Reconnaître la proportionnalité sur un graphique
Si on place les points (nombre de croissants ; prix) dans un repère, une situation de proportionnalité donne des points alignés avec l'origine du repère.
Des points alignés qui ne passent PAS par l'origine (par exemple un abonnement avec des frais fixes) ne correspondent pas à une situation de proportionnalité.
📖 Définition — Vitesse constante : un contexte de proportionnalité
À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée : le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Un cycliste à 18 km/h parcourt 18 km chaque heure — donc 9 km en une demi-heure, 27 km en 1 h 30…
Unités : si la vitesse est en km/h, la durée doit être en heures (30 min = 0,5 h).
🔢 Méthode — Appliquer un pourcentage simple
- Un pourcentage est une proportion : t % d'une quantité, c'est t/100 de cette quantité.
- 50 % = la moitié ; 25 % = le quart ; 10 % = on divise par 10 ; 1 % = on divise par 100.
- Pour un pourcentage quelconque, passe par 10 % ou 1 % : 30 % = 3 × 10 %.
- Vérifie l'ordre de grandeur : 35 % de 480, c'est un peu plus que le tiers.
✏️ Exemple — Vitesse d'un cycliste
✏️ Exemple — Pourcentage d'une quantité
Croire que tout est proportionnel. Un abonnement à 12 € + 2 € par film n'est PAS proportionnel au nombre de films (à cause des 12 € fixes). Vérifie toujours : le double de l'un donne-t-il le double de l'autre ?
Mélanger les unités de temps. Si est en km/h, doit être en heures. 30 minutes = 0,5 h, pas 30 !
La proportionnalité est partout : la vitesse d'une voiture, le prix au kilo, l'échelle d'une carte... Dès que tu "grossis" ou "rétrécis" à taux constant, c'est de la proportionnalité !
🎯 Mini-quiz
1. Sur une carte à l'échelle 1/25 000, deux villages sont distants de 4 cm. Quelle est la distance réelle ?
2. Un train roule à 120 km/h. En 2 h 30 min, quelle distance parcourt-il ?
3. Combien vaut 30 % de 240 ?
4. Si 5 stylos coûtent 7,50 € et 3 stylos coûtent 4,50 €, combien coûtent 8 stylos ?