Géométrie et vecteurs — 1ère Spécialité

$\vec{u}(x_u, y_u) \cdot \vec{v}(x_v, y_v) = x_u x_v + y_u y_v$

Formules équivalentes :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta = \frac{\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2}{2}$

Identités remarquables (vectorielles) :

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

$\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

La droite $D$ passant par $A(x_A, y_A)$ avec vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ a pour équation :

$a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad ax + by + c = 0$

où $c = -ax_A - by_A$.

Distance d'un point $P(x_P, y_P)$ à la droite $ax+by+c=0$ :

$d(P, D) = \frac{|ax_P + by_P + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

✏️ Exemple — Distance d'un point à une droite

Le vecteur directeur et le vecteur normal d'une droite sont perpendiculaires entre eux. Si $\vec{n}(a,b)$ est normal, alors $\vec{d}(-b,a)$ est directeur. Ne pas les confondre dans les calculs.

Le produit scalaire nul ↔ orthogonalité : c'est l'outil de base pour prouver qu'un angle est droit, que des droites sont perpendiculaires, ou que des vecteurs sont orthogonaux. En géométrie analytique, tu remplaces les règles et l'équerre par des calculs.