Géométrie et vecteurs — 1ère Spécialité

En seconde : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$ et pour norme $\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$. Deux vecteurs $\vec{u}(a\,;b)$ et $\vec{v}(c\,;d)$ sont colinéaires si et seulement si $ad - bc = 0$.

Une droite d'équation $ax + by + c = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{d}(-b\,;a)$. Cette année, on ajoute un deuxième outil, le produit scalaire, et un deuxième vecteur attaché à la droite : le vecteur normal.

$\vec{u}(x_u, y_u) \cdot \vec{v}(x_v, y_v) = x_u x_v + y_u y_v$

Formules équivalentes :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\theta = \frac{\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2}{2}$

Identités remarquables (vectorielles) :

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

$\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

La droite $D$ passant par $A(x_A, y_A)$ avec vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ a pour équation :

$a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad ax + by + c = 0$

où $c = -ax_A - by_A$.

Réciproque à connaître : dans la droite d'équation $ax+by+c=0$, le vecteur $\vec{n}(a,b)$ est normal et $\vec{d}(-b,a)$ est directeur — on lit les deux directement sur les coefficients.

Le projeté orthogonal $H$ de $P$ sur $D$ est l'unique point de $D$ tel que $\overrightarrow{PH}$ soit orthogonal à $D$. C'est aussi le point de $D$ le plus proche de $P$ : la longueur $PH$ est la distance de $P$ à $D$.

Pour le calculer, $H$ est l'intersection de $D$ et de la perpendiculaire à $D$ passant par $P$ — c'est-à-dire la droite passant par $P$ et dirigée par le vecteur normal $\vec{n}(a,b)$ de $D$.

✏️ Exemple — Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Le vecteur directeur et le vecteur normal d'une droite sont perpendiculaires entre eux. Si $\vec{n}(a,b)$ est normal, alors $\vec{d}(-b,a)$ est directeur. Ne pas les confondre dans les calculs.

Le produit scalaire nul ↔ orthogonalité : c'est l'outil de base pour prouver qu'un angle est droit, que des droites sont perpendiculaires, ou que des vecteurs sont orthogonaux. En géométrie analytique, tu remplaces les règles et l'équerre par des calculs.