✅ À retenir

Si F'=f, alors \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une **constante**.
Intégration par parties : \displaystyle\int_a^b u'v = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b uv'. À utiliser quand v se simplifie en dérivant (x, \ln x).
Éq. diff. y'=ay : y=Ce^{ax} (C\in\mathbb{R}). Éq. y'=ay+b (a \neq 0) : solution particulière constante y_0=-b/a, puis y=Ce^{ax}+y_0.

📖 Définition — Primitives usuelles

$f(x)$	Primitive $F(x)$	Conditions
$x^n$ , $n \geq 0$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$x \in \mathbb{R}$
$x^n$ , $n \leq -2$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	sur un intervalle ne contenant pas $0$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln	x
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$x > 0$
$e^x$	$e^x$
$e^{ax+b}$	$\dfrac{1}{a}e^{ax+b}$	$a \neq 0$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln	u
$u' \cdot e^u$	$e^u$

Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, et deux d'entre elles diffèrent d'une constante.

📖 Définition — Intégrale définie, aire et valeur moyenne

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$

où $F$ est une primitive quelconque de $f$ (la constante se simplifie dans la différence).

Propriétés : linéarité, positivité (si $f \geq 0$ sur $[a;b]$ avec $a \leq b$ , alors $\int_a^b f \geq 0$ ) et relation de Chasles :

$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$

Aire. Si $f \geq 0$ sur $[a;b]$ , $\int_a^b f$ est l'aire sous la courbe. Sinon l'intégrale est une aire algébrique, et l'aire géométrique vaut $\int_a^b |f(x)|\,dx$ .

Aire entre deux courbes : si $f \geq g$ sur $[a;b]$ ,

$\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$

Valeur moyenne : $\ \bar{f} = \dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ — la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ ayant la même aire.

📖 Définition — Intégration par parties

Pour $u$ et $v$ dérivables à dérivées continues sur $[a;b]$ :

$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$

Elle vient de $(uv)' = u'v + uv'$ , intégrée entre $a$ et $b$ . Le bon réflexe : choisir pour $v$ le facteur qui se simplifie en dérivant ( $x$ , $x^2$ , $\ln x$ ), et pour $u'$ celui qu'on sait primitiver ( $e^x$ , $\cos x$ , $\sin x$ ).

🔢 Méthode — Résoudre y' = ay + b (a ≠ 0)

Chercher une solution particulière CONSTANTE : y' = 0 donne 0 = a y₀ + b, donc y₀ = −b/a.
Résoudre l'équation homogène y' = ay : les solutions sont y = Ce^(ax), C réel.
Additionner : la solution générale est y(x) = Ce^(ax) − b/a.
Utiliser la condition initiale pour déterminer C (une seule solution la vérifie).
Contrôler en dérivant la fonction trouvée et en la réinjectant dans l'équation.

✏️ Exemple — Intégration par parties

✏️ Exemple — Aire entre deux courbes

✏️ Exemple — Équation différentielle

⚠️

Une intégrale n'est pas une aire. $\int_a^b f$ est une aire algébrique : elle compte négativement ce qui est sous l'axe. Ainsi $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$ , alors que l'aire géométrique délimitée vaut $4$ . Dès que $f$ change de signe, découpe l'intervalle (Chasles) avant de parler d'aire.

L'intégration par parties, c'est la règle du produit $(uv)'=u'v+uv'$ lue à l'envers. On ne sait primitiver ni $xe^x$ ni $\ln x$ directement ; en déplaçant la dérivée d'un facteur sur l'autre, on remplace une intégrale impossible par une intégrale facile. Tout l'art tient dans le choix de qui dérive et qui se primitive.

🎯 Mini-quiz

1. Primitives de f(x) = 3x² − 2x + 1 ?

2. ∫₀¹ x·eˣ dx = ?

3. Aire entre les courbes de y = x et y = x² sur [0 ; 1] ?

Intégration — Terminale

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