✅ À retenir

e^x est l'unique fonction dérivable telle que f'=f et f(0)=1. Sa dérivée est elle-même.
Propriétés : e^{a+b}=e^a e^b, e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}, (e^a)^n=e^{na}, e^0=1.
Pour a réel : (e^{at})' = a\,e^{at}. Le signe de a donne le sens de variation.
Lien avec les suites géométriques : (e^{an})_{n} est géométrique de raison e^{a} — l'exponentielle est la version « temps continu » d'une évolution à taux constant.

📖 Définition — Propriétés de la fonction exponentielle

$f(x) = e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$ et vérifie :

Propriété	Valeur
Domaine	$\mathbb{R}$
Signe	$e^x > 0$ pour tout $x$
$f'(x)$	$e^x = f(x)$
$f(0)$	$1$
Monotonie	Strictement croissante sur $\mathbb{R}$
Allure de la courbe	Vers la droite, $e^x$ grandit de plus en plus vite ; vers la gauche, la courbe se rapproche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher (car $e^x > 0$ )

Dérivée de $t \mapsto e^{at}$ ( $a$ réel) : $(e^{at})' = a\,e^{at}$

Comme $e^{at} > 0$ , le signe de la dérivée est celui de $a$ : $t \mapsto e^{at}$ est croissante si $a>0$ (croissance exponentielle) et décroissante si $a<0$ (décroissance exponentielle).

🔢 Méthode — Résoudre une équation/inéquation exponentielle

Ramener à la forme e^{f(x)} = e^{g(x)} (car exp est injective, cela équivaut à f(x)=g(x)).
Pour une inéquation : e^{f(x)} < e^{g(x)} ⟺ f(x) < g(x) (exp croissante).
Attention au SENS de l'inégalité si on multiplie par un nombre négatif — l'exponentielle, elle, ne change jamais le sens.
Vérifier : e^{f(x)} est toujours > 0, donc une équation du type e^{f(x)} = −3 n'a jamais de solution.

✏️ Exemple — Décroissance radioactive

✏️ Exemple — Équation exponentielle

💡

Repérer une évolution à taux constant. Une grandeur qui augmente de $5\%$ par an est multipliée par $1{,}05$ chaque année : c'est une suite géométrique de raison $1{,}05$ (temps discret). La même évolution en temps continu s'écrit $N(t) = N_0\,e^{kt}$ .

Le seul signe à regarder est celui de $k$ : $k > 0$ → croissance, $k < 0$ → décroissance. Et les deux modèles se raccordent, puisque $e^{kn} = (e^{k})^n$ .

⚠️

L'exponentielle transforme les sommes en produits : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ . Elle ne transforme PAS les sommes en sommes : $e^{a+b} \neq e^a + e^b$ . Contre-exemple imparable avec $a=b=0$ : à gauche $e^0 = 1$ , à droite $1+1 = 2$ .

De même, $e^{ab} \neq e^a \times e^b$ : le produit dans l'exposant ne « sort » pas.

La constante $e \approx 2{,}718$ apparaît partout : en finance (intérêts continus), en physique (désintégration radioactive), en biologie (croissance bactérienne), en statistiques (loi normale). C'est le "nombre d'or de la croissance" !

🎯 Mini-quiz

1. Dérivée de f(t) = e^(3t) ?

2. e^(2x−1) > e^(x+2) équivaut à :

3. La suite définie par vₙ = e^(2n) est :

Fonction exponentielle — 1ère Spécialité

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