Variables aléatoires — 1ère Spécialité

Sur un univers fini $\Omega$, une variable aléatoire réelle $X$ est une fonction de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ : à chaque issue elle associe un nombre.

⚠️ Ne pas confondre les trois objets :

• $X$ est une fonction ;
• $\{X = a\}$ est un événement (l'ensemble des issues dont l'image vaut $a$) ;
• $P(X = a)$ est un nombre entre $0$ et $1$.

Loi de probabilité de $X$ : le tableau donnant $P(X = x_i)$ pour chaque valeur $x_i$ prise par $X$. La somme des probabilités vaut toujours $1$ — c'est le premier contrôle à faire.

$E(X) = \sum_i x_i\,p_i \qquad V(X) = \sum_i (x_i - E(X))^2 p_i \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Interprétation : $E(X)$ est la valeur moyenne de $X$ si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. $\sigma(X)$ mesure la dispersion autour de cette moyenne : plus $\sigma$ est petit, plus les résultats se resserrent autour de $E(X)$.

Formule de König-Huygens (bien plus rapide à calculer) :

$V(X) = E(X^2) - \big[E(X)\big]^2 \qquad \text{où } E(X^2) = \sum_i x_i^2\,p_i$

Linéarité de l'espérance : $E(aX+b) = a\,E(X)+b$. Attention, la variance ne se comporte pas pareil : $V(aX+b) = a^2\,V(X)$ (ajouter $b$ décale la loi sans la disperser).

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$).

Quand on la répète $n$ fois de façon indépendante et identique (avec $n \leqslant 4$), on représente la situation par un arbre pondéré :

• la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches ;
• la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

C'est cet arbre qui permet de déterminer la loi de la variable aléatoire « nombre de succès ».

✏️ Exemple — Trois lancers d'une pièce équilibrée

L'espérance sert à décider. Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain algébrique est nulle.

Exemple : un jeu rapporte $10$ € avec probabilité $0{,}2$ et $0$ € sinon. Le gain brut a pour espérance $10 \times 0{,}2 = 2$ €. La mise équitable est donc exactement 2 € : au-dessus, le joueur perd à long terme ; en dessous, c'est l'organisateur qui perd.

C'est précisément ce calcul que font les assureurs et les casinos — sauf qu'ils s'arrangent toujours pour que l'espérance penche de leur côté.

$E(X)$ n'est presque jamais une valeur que $X$ peut prendre. Dans l'exemple ci-dessus, $E(X)=1{,}5$ alors qu'on n'obtiendra jamais $1{,}5$ pile ! L'espérance est une moyenne théorique, pas une prédiction.

Ne pas confondre variable aléatoire et événement. $X$ est une fonction ; $\{X \leqslant 2\}$ est un événement ; $P(X \leqslant 2)$ est un nombre.

Enfin, $V(X)$ n'est pas homogène à $X$ : si $X$ est en euros, $V(X)$ est en euros². C'est pour cela qu'on utilise $\sigma = \sqrt{V(X)}$, qui, lui, s'exprime dans la même unité que $X$.

L'espérance est née d'une correspondance entre Pascal et Fermat en 1654, à propos d'un problème de joueurs : comment partager équitablement les mises si une partie est interrompue en cours de route ? De cette question de casino est sorti l'un des concepts les plus utiles des sciences — aujourd'hui il fixe le prix de ton assurance, évalue le bénéfice d'un traitement médical et pilote les décisions de n'importe quelle entreprise.