✅ À retenir
- **Médiane** : partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif. Q_1 et Q_3 la complètent en quarts.
- Q_1 est la **valeur de la série** de rang \dfrac{n}{4} (arrondi au rang supérieur si besoin) ; Q_3 celle de rang \dfrac{3n}{4}.
- **Écart interquartile** Q_3 - Q_1 : dispersion autour de la médiane. **Écart type** \sigma : dispersion autour de la moyenne.
- On associe toujours un indicateur de position à son indicateur de dispersion : **moyenne + écart type**, ou **médiane + écart interquartile**.
- **Fréquence conditionnelle** : une fréquence calculée à l'intérieur d'un sous-groupe (on divise par l'effectif de la ligne ou de la colonne, pas par le total).
- En situation d'**équiprobabilité** : P(A) = \dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}.
📖 Définition — Indicateurs statistiques
| Indicateur | Définition |
|---|---|
| Effectif total | Nombre de données |
| Moyenne | |
| Médiane | Valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif |
| , | Quartiles : ils coupent la série ordonnée en quarts |
| Étendue | Valeur max − valeur min |
| Écart interquartile | |
| Écart type | Racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne |
Les indicateurs de position (moyenne, médiane) disent où se situent les données ; les indicateurs de dispersion (étendue, écart interquartile, écart type) disent à quel point elles sont étalées. Il faut les deux pour décrire une série.
La boîte contient la moitié centrale des données (de à ) ; les moustaches vont jusqu'au minimum et au maximum.
🔢 Méthode — Déterminer médiane et quartiles
- **Trie** les données dans l'ordre croissant — rien ne fonctionne sans cela.
- **Médiane** : si n est impair, c'est la valeur centrale ; si n est pair, la moyenne des deux valeurs centrales.
- **Q_1** : calcule \dfrac{n}{4}. Si c'est un entier, Q_1 est la valeur de ce rang ; sinon, celle du rang immédiatement supérieur.
- **Q_3** : même procédé avec \dfrac{3n}{4}.
- Trace la boîte à moustaches : moustache du minimum à Q_1, boîte de Q_1 à Q_3, barre à la médiane, moustache de Q_3 au maximum.
✏️ Exemple — Médiane et quartiles
✏️ Exemple — Calculer un écart type
✏️ Exemple — Tableau croisé et fréquence conditionnelle
La médiane n'est pas la moyenne. Sur une série asymétrique (salaires, temps de trajet), la médiane résiste aux valeurs extrêmes, pas la moyenne.
Ne divise pas par le mauvais total. Dans un tableau croisé, (24 %) est la proportion de « filles sportives » dans l'ensemble des élèves ; (60 %) est la proportion de sportives parmi les filles. Ce sont deux nombres différents qui répondent à deux questions différentes.
Deux classes peuvent avoir exactement la même moyenne de 10 et n'avoir rien à voir : l'une avec tous les élèves entre 9 et 11, l'autre moitié à 4 et moitié à 16. C'est l'écart type qui les distingue — petit dans le premier cas, énorme dans le second. Une moyenne sans indicateur de dispersion ne raconte que la moitié de l'histoire.
🎯 Mini-quiz
1. Série : 3, 7, 9, 12, 15. Quelle est la médiane ?
2. Si $Q_1 = 10$ et $Q_3 = 30$, que vaut l'écart interquartile ?
3. Sur 80 filles interrogées, 48 pratiquent un sport (sur 200 élèves au total). Quelle est la fréquence conditionnelle de la pratique d'un sport parmi les filles ?