✅ À retenir
- Un **échantillon de taille n** est le résultat de n répétitions indépendantes d'une même expérience aléatoire.
- La **fréquence observée** f d'un événement dans un échantillon n'est presque jamais égale à sa probabilité p : elle **fluctue** d'un échantillon à l'autre. C'est la **fluctuation d'échantillonnage**.
- **Loi des grands nombres** (version vulgarisée) : lorsque n est grand, **sauf exception**, la fréquence observée est proche de la probabilité.
- Plus n est grand, plus la fluctuation est **faible** : les fréquences observées se resserrent autour de p.
- Une fréquence très éloignée de p sur un **grand** échantillon est un signal : elle conduit à douter du modèle choisi.
📖 Définition — Fluctuation d'échantillonnage
On répète fois, de façon indépendante, une expérience aléatoire, et on note la fréquence d'un événement de probabilité .
Si l'on recommence l'opération avec un autre échantillon de même taille , on obtient en général une fréquence différente. Cette variabilité d'un échantillon à l'autre s'appelle la fluctuation d'échantillonnage.
Elle n'est pas un défaut de l'expérience : c'est une propriété du hasard lui-même.
La courbe orange donne la fréquence de Pile calculée au fur et à mesure des lancers d'une pièce équilibrée. Au début elle part dans tous les sens ; ensuite elle se stabilise près de .
🔢 Méthode — Simuler un échantillon en Python
- Modéliser une répétition de l'expérience par un tirage aléatoire (`random.random()` renvoie un nombre au hasard entre 0 et 1).
- L'événement de probabilité p est réalisé lorsque ce nombre est inférieur à p.
- Répéter n fois avec une boucle bornée et **compter** les réalisations.
- Diviser le compteur par n pour obtenir la fréquence observée f.
- Relancer plusieurs fois le programme : on constate que f change — c'est la fluctuation.
✏️ Exemple — Simulation d'un lancer de pièce
La loi des grands nombres dit « sauf exception, la fréquence est proche de la probabilité » — et non « la fréquence devient égale à la probabilité ». Obtenir sur 1000 lancers d'une pièce équilibrée est parfaitement normal.
Autre erreur classique, dite « loi des séries » : après cinq Pile d'affilée, Face n'est pas plus probable au lancer suivant. Les lancers sont indépendants ; la pièce n'a pas de mémoire.
C'est exactement le principe des sondages, du contrôle qualité et des tests médicaux : on n'observe qu'un échantillon, jamais la population entière. Toute la difficulté du métier de statisticien tient dans une seule question : cet écart entre ce que j'observe et ce que je prévoyais est-il du simple hasard, ou le signe que mon modèle est faux ?
🎯 Mini-quiz
1. On lance 1000 fois une pièce équilibrée. Quelle fréquence de Pile est la plus plausible ?
2. Que devient la fluctuation d'échantillonnage quand la taille $n$ de l'échantillon augmente ?
3. La loi des grands nombres, dans sa version vulgarisée, affirme que :