✅ L'essentiel

f(a) est l'image de a. Si f(a)=b, alors a est un antécédent de b par f.
L'ensemble de définition est l'ensemble des x pour lesquels f(x) existe (interdits : division par 0 et racine d'un négatif).
f croissante sur I : a < b \Rightarrow f(a) < f(b). Décroissante : sens inversé.
Fonctions de référence : x^2 (parabole), \dfrac{1}{x} (hyperbole), \sqrt{x}, |x| et x^3.
La courbe d'équation y = f(x) est l'ensemble des points (x\,;y) vérifiant y = f(x) : un point lui appartient si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.

📖 Rappel — Fonction affine, image et antécédent

En 3ème : une fonction associe à un nombre $x$ un unique nombre $f(x)$ , son image. Pour $f(x) = 2x + 1$ , l'image de 3 est $f(3) = 7$ ; et 3 est un antécédent de 7. Trouver les antécédents de 7, c'est résoudre $2x + 1 = 7$ .

Les fonctions affines $x \mapsto ax + b$ se représentent par une droite, de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$ . La seconde étend ce vocabulaire à des fonctions dont la courbe n'est plus une droite.

📖 Fonctions de référence

Fonction	Domaine	Variations
$f(x) = x^2$	$\mathbb{R}$	Décrois. sur $]-\infty,0]$ , crois. sur $[0,+\infty[$
$f(x) = \frac{1}{x}$	$\mathbb{R}^*$	Décrois. sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$
$f(x) = \sqrt{x}$	$[0,+\infty[$	Crois. sur $[0,+\infty[$
$f(x) = \lvert x \rvert$	$\mathbb{R}$	Décrois. sur $]-\infty,0]$ , crois. sur $[0,+\infty[$
$f(x) = x^3$	$\mathbb{R}$	Croissante sur $\mathbb{R}$
$f(x) = ax+b$	$\mathbb{R}$	Crois. si $a>0$ , décrois. si $a \lt 0$

Signes : $x^2$ et $\lvert x \rvert$ sont toujours positifs (et ne s'annulent qu'en 0) ; $x^3$ a le signe de $x$ .

Pour une fonction affine $f(x) = mx + p$ , le coefficient $m$ est le taux d'accroissement et $p$ l'ordonnée à l'origine.

🔢 Méthode — Dresser un tableau de variations

Identifier l'ensemble de définition de f.
Repérer les valeurs où f change de sens : elles se lisent sur la courbe, ou se devinent grâce aux fonctions de référence.
Sur chaque intervalle ainsi délimité, déterminer si f est croissante ou décroissante.
Calculer f aux bornes et aux points remarquables (c'est là que se lisent le maximum et le minimum).
Remplir le tableau : flèche montante = croissante, flèche descendante = décroissante.

✏️ Exemple — Lecture graphique — images et antécédents

✏️ Exemple — Un point appartient-il à la courbe ?

💡

Pour trouver les antécédents d'un nombre $k$ , écris $f(x) = k$ et résous l'équation — ou, sur un graphique, trace la droite horizontale $y = k$ et lis les abscisses des points d'intersection. Il peut y avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

La même lecture graphique résout les inéquations : $f(x) < k$ correspond aux abscisses où la courbe passe en dessous de la droite $y = k$ .

📖 Résoudre graphiquement f(x) = g(x) et f(x) < g(x)

Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
Les solutions de $f(x) < g(x)$ sont les abscisses des points où la courbe de $f$ est strictement en dessous de celle de $g$ .

On lit toujours sur l'axe horizontal : une solution est une valeur de $x$ , pas une ordonnée. Aux points d'intersection, $f(x) = g(x)$ : ils sont exclus d'une inégalité stricte.

⚠️

L'image est unique (c'est la définition d'une fonction), mais un antécédent peut ne pas exister ou en avoir plusieurs. Exemple : $f(x)=x^2$ , la valeur −1 n'a aucun antécédent dans ℝ.

Le tableau de variations, c'est le "passeport" d'une fonction : il te dit où elle monte, où elle descend, et quelles valeurs elle atteint. Entraîne-toi à en lire plusieurs graphiques différents.

🎯 Mini-quiz

1. Pour f(x) = 1/x, quelle est l'image de −2 ?

2. f(x) = x² est décroissante sur :

3. Combien d'antécédents a la valeur 0 pour f(x) = x² − 4 ?

Fonctions — Seconde

Pour aller plus loin

Autres fiches Seconde