✅ À retenir

f(a) est l'**image** de a. Si f(a)=b, alors a est un **antécédent** de b par f.
L'**ensemble de définition** est l'ensemble des x pour lesquels f(x) existe (interdits : division par 0 et racine d'un négatif).
f croissante sur I : a < b \Rightarrow f(a) < f(b). Décroissante : sens inversé.
Fonctions de référence : x^2 (parabole), \dfrac{1}{x} (hyperbole), \sqrt{x}, |x| et x^3.
La courbe d'équation y = f(x) est l'ensemble des points (x\,;y) vérifiant y = f(x) : un point lui appartient **si et seulement si** ses coordonnées vérifient l'équation.

📖 Définition — Fonctions de référence

Fonction	Domaine	Variations
$f(x) = x^2$	$\mathbb{R}$	Décrois. sur $]-\infty,0]$ , crois. sur $[0,+\infty[$
$f(x) = \frac{1}{x}$	$\mathbb{R}^*$	Décrois. sur $]-\infty,0[$ et sur $]0,+\infty[$
$f(x) = \sqrt{x}$	$[0,+\infty[$	Crois. sur $[0,+\infty[$
$f(x) = \lvert x \rvert$	$\mathbb{R}$	Décrois. sur $]-\infty,0]$ , crois. sur $[0,+\infty[$
$f(x) = x^3$	$\mathbb{R}$	Croissante sur $\mathbb{R}$
$f(x) = ax+b$	$\mathbb{R}$	Crois. si $a>0$ , décrois. si $a \lt 0$

Signes : $x^2$ et $\lvert x \rvert$ sont toujours positifs (et ne s'annulent qu'en 0) ; $x^3$ a le signe de $x$ .

Pour une fonction affine $f(x) = mx + p$ , le coefficient $m$ est le taux d'accroissement et $p$ l'ordonnée à l'origine.

🔢 Méthode — Dresser un tableau de variations

Identifier l'**ensemble de définition** de f.
Repérer les valeurs où f **change de sens** : elles se lisent sur la courbe, ou se devinent grâce aux fonctions de référence.
Sur chaque intervalle ainsi délimité, déterminer si f est croissante ou décroissante.
Calculer f aux bornes et aux points remarquables (c'est là que se lisent le **maximum** et le **minimum**).
Remplir le tableau : flèche montante = croissante, flèche descendante = décroissante.

✏️ Exemple — Lecture graphique — images et antécédents

✏️ Exemple — Un point appartient-il à la courbe ?

💡

Pour trouver les antécédents d'un nombre $k$ , écris $f(x) = k$ et résous l'équation — ou, sur un graphique, trace la droite horizontale $y = k$ et lis les abscisses des points d'intersection. Il peut y avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents.

La même lecture graphique résout les inéquations : $f(x) < k$ correspond aux abscisses où la courbe passe en dessous de la droite $y = k$ .

⚠️

L'image est unique (c'est la définition d'une fonction), mais un antécédent peut ne pas exister ou en avoir plusieurs. Exemple : $f(x)=x^2$ , la valeur −1 n'a aucun antécédent dans ℝ.

Le tableau de variations, c'est le "passeport" d'une fonction : il te dit où elle monte, où elle descend, et quelles valeurs elle atteint. Entraîne-toi à en lire plusieurs graphiques différents.

🎯 Mini-quiz

1. Pour f(x) = 1/x, quelle est l'image de −2 ?

2. f(x) = x² est décroissante sur :

3. Combien d'antécédents a la valeur 0 pour f(x) = x² − 4 ?

Fonctions — Seconde

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