✅ L'essentiel

Intervalles : [a,b] fermé (bornes incluses), ]a,b[ ouvert, [a,+\infty[ semi-ouvert.
|x| = x si x \geq 0, |x| = -x si x < 0. Distance entre a et b : |a-b|.
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} et \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} pour a,b \geq 0.

📖 Rappel — Racine carrée, puissances, fractions

Au collège : $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ ( $\sqrt{49} = 7$ ), et un nombre négatif n'a pas de racine carrée. $a^n$ est un produit de $n$ facteurs égaux à $a$ , avec $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .

Une fraction ne change pas quand on multiplie ou divise ses deux termes par le même nombre, et $\dfrac{a}{b} = a \div b$ : tout rationnel est un quotient d'entiers. Ces objets sont ceux que la seconde range dans les ensembles $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ .

📖 Ensembles de nombres

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Ensemble	Contenu
$\mathbb{N}$	Entiers naturels : 0, 1, 2, …
$\mathbb{Z}$	Entiers relatifs : …, −2, −1, 0, 1, 2, …
$\mathbb{D}$	Décimaux : $a \times 10^{-n}$ , soit une écriture décimale finie (3,25 ; −0,7)
$\mathbb{Q}$	Rationnels : fractions $\dfrac{p}{q}$ avec $q \neq 0$
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$	Irrationnels : $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$ …
$\mathbb{R}$	Tous les réels

📖 Intervalles

Notation	Ensemble	Signification
$[a,b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	Fermé (bornes incluses)
$]a,b[$	$\{x \mid a < x < b\}$	Ouvert (bornes exclues)
$[a,b[$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	Semi-ouvert
$[a,+\infty[$	$\{x \mid x \geq a\}$	Illimité à droite

🔢 Méthode — Simplifier une racine carrée

Décompose le nombre sous la racine en facteurs premiers.
Regroupe les facteurs par paires : \sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b} (pour a \geq 0).
Extrais les paires hors de la racine.
Vérifie que le nombre sous la racine est le plus petit possible.

✏️ Exemple — Simplifier \sqrt{72}

✏️ Exemple — Valeur absolue et intervalles

💡

Pour $|x - a| \leq r$ : c'est l'intervalle $[a-r,\, a+r]$ . Géométriquement, c'est l'ensemble des points à distance ≤ r du point a sur la droite réelle.

📖 Chiffres significatifs

Les chiffres significatifs d'un nombre se comptent à partir du premier chiffre non nul ; les zéros de fin comptent (ils disent la précision), ceux de tête non : $0{,}0420$ a 3 chiffres significatifs, $4{,}060$ en a 4.

Un résultat n'est pas plus précis que les données : un coureur fait $100$ m en $9{,}58$ s, la calculatrice affiche $10{,}438413\ldots$ m/s ; les données ont 3 chiffres significatifs, on répond $10{,}4$ m/s.

⚠️

$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7$ . La racine ne se distribue pas sur les sommes.

Les intervalles, c'est la langue du lycée. Dès qu'on parle de "l'ensemble des solutions" d'une inéquation, ou du "domaine" d'une fonction, on les utilise. Maîtrise leur notation dès le début !

🎯 Mini-quiz

1. Quel est l'ensemble solution de |x + 1| < 3 ?

2. Simplifie \sqrt{48}.

3. -\sqrt{2} appartient à quel ensemble ?

Nombres et calculs

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