✅ À retenir

Intervalles : [a,b] fermé (bornes incluses), ]a,b[ ouvert, [a,+\infty[ semi-ouvert.
|x| = x si x \geq 0, |x| = -x si x < 0. Distance entre a et b : |a-b|.
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} et \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} pour a,b \geq 0.

📖 Définition — Ensembles de nombres

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Ensemble	Contenu
$\mathbb{N}$	Entiers naturels : 0, 1, 2, …
$\mathbb{Z}$	Entiers relatifs : …, −2, −1, 0, 1, 2, …
$\mathbb{Q}$	Rationnels : fractions $p/q$
$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$	Irrationnels : $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$ …
$\mathbb{R}$	Tous les réels

📖 Définition — Intervalles

Notation	Ensemble	Signification
$[a,b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	Fermé (bornes incluses)
$]a,b[$	$\{x \mid a < x < b\}$	Ouvert (bornes exclues)
$[a,b[$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	Semi-ouvert
$[a,+\infty[$	$\{x \mid x \geq a\}$	Illimité à droite

🔢 Méthode — Simplifier une racine carrée

Décompose le nombre sous la racine en facteurs premiers.
Regroupe les facteurs par paires : √(a²×b) = a√b.
Extrais les paires hors de la racine.
Vérifie que le nombre sous la racine est le plus petit possible.

✏️ Exemple — Simplifier √72

✏️ Exemple — Valeur absolue et intervalles

💡

Pour $|x - a| \leq r$ : c'est l'intervalle $[a-r,\, a+r]$ . Géométriquement, c'est l'ensemble des points à distance ≤ r du point a sur la droite réelle.

⚠️

$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7$ . La racine ne se distribue pas sur les sommes.

Les intervalles, c'est la langue du lycée. Dès qu'on parle de "l'ensemble des solutions" d'une inéquation, ou du "domaine" d'une fonction, on les utilise. Maîtrise leur notation dès le début !

🎯 Mini-quiz

1. Quel est l'ensemble solution de |x + 1| < 3 ?

2. Simplifie √48.

3. −√2 appartient à quel ensemble ?