Calcul algébrique

Au collège : développer transforme un produit en somme, $k(a+b) = ka + kb$ et $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ ; factoriser fait l'inverse, en repérant un facteur commun ($3x^2 + 6x = 3x(x+2)$) ou une identité remarquable ($x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$).

Tu sais aussi résoudre une équation du premier degré : $2x - 6 = 0$ donne $x = 3$. En seconde, la nouveauté est de choisir la forme la mieux adaptée à la question posée.

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

$A(x) \times B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \ \text{ ou } \ B(x) = 0$

C'est ce qui rend la forme factorisée si utile : elle livre les solutions directement. Une expression développée, elle, ne montre rien — d'où l'intérêt de savoir factoriser.

✏️ Exemple — Factoriser puis résoudre

✏️ Exemple — Équation du type x² = a

✏️ Exemple — Inéquation produit par tableau de signes

Oublier d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif. $-3x > 6$ donne $x < -2$ (et non $x > -2$).

Autre piège : $x^2 = 25$ n'a pas pour seule solution $x = 5$ — il ne faut pas perdre $x = -5$.

Développer, c'est facile et mécanique ; factoriser, c'est une enquête. Mais c'est la forme factorisée qui répond aux questions : elle donne les solutions et les signes d'un coup d'œil. Retiens la règle : « je cherche des solutions → je factorise ».