✅ À retenir
- (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 ; (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 ; (a+b)(a-b) = a^2-b^2.
- **Équation produit nul** : A(x)\times B(x) = 0 \iff A(x)=0 **ou** B(x)=0.
- x^2 = a : si a>0, deux solutions x=\sqrt a et x=-\sqrt a ; si a=0, une seule (x=0) ; si a<0, aucune.
- Une inéquation change de sens quand on multiplie ou divise par un nombre **négatif**.
- **Tableau de signes** : signe de chaque facteur, puis règle des signes pour le produit ou le quotient.
📖 Définition — Équation produit nul
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
C'est ce qui rend la forme factorisée si utile : elle livre les solutions directement. Une expression développée, elle, ne montre rien — d'où l'intérêt de savoir factoriser.
🔢 Méthode — Choisir la bonne forme d'une expression
- Tu cherches les **solutions** de A(x)=0 ? Il faut la forme **factorisée** (produit nul).
- Tu veux **calculer une valeur** ou comparer deux expressions ? La forme **développée réduite** est souvent plus commode.
- Pour factoriser : cherche d'abord un **facteur commun** (ax^2+bx = x(ax+b)), sinon une **identité remarquable**.
- Vérifie toujours ta factorisation en la redéveloppant.
✏️ Exemple — Factoriser puis résoudre
✏️ Exemple — Équation du type x² = a
✏️ Exemple — Inéquation produit par tableau de signes
Oublier d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif. donne (et non ).
Autre piège : n'a pas pour seule solution — il ne faut pas perdre .
Développer, c'est facile et mécanique ; factoriser, c'est une enquête. Mais c'est la forme factorisée qui répond aux questions : elle donne les solutions et les signes d'un coup d'œil. Retiens la règle : « je cherche des solutions → je factorise ».
🎯 Mini-quiz
1. Factorise $x^2 - 9$.
2. Quelles sont les solutions de $(2x-6)(x+1) = 0$ ?
3. Résous l'inéquation $-3x + 2 > 8$.