✅ À retenir

\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (x_B - x_A\,;\, y_B - y_A), et sa **norme** \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} vaut la distance AB.
**Milieu** I de [AB] : x_I = \dfrac{x_A+x_B}{2} et y_I = \dfrac{y_A+y_B}{2}.
**Déterminant** de \vec{u}(a\,;b) et \vec{v}(c\,;d) : \det(\vec u,\vec v) = ad - bc. Il est **nul si et seulement si** les vecteurs sont **colinéaires**.
Colinéarité = outil de démonstration : **alignement** de points et **parallélisme** de droites.
**Équation réduite** y = mx + p ; **équation cartésienne** ax + by + c = 0 (elle, décrit aussi les droites verticales).
Un **vecteur directeur** de la droite d'équation ax + by + c = 0 est \vec{u}(-b\,;a).

📖 Définition — Vecteurs et opérations

Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ dans un repère :

$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}, \qquad \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Pour $\vec{u}(a\,;b)$ , $\vec{v}(c\,;d)$ et un réel $k$ :

Opération	Coordonnées
Somme $\vec{u} + \vec{v}$	$(a+c\,;\ b+d)$
Produit par un réel $k\vec{u}$	$(ka\,;\ kb)$
Vecteur nul $\vec{0}$	$(0\,;0)$

Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff \det(\vec u,\vec v) = ad - bc = 0$ .

Caractérisation vectorielle du milieu : $I$ est le milieu de $[AB]$ $\iff \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ .

📖 Définition — Équations d'une droite

Équation réduite : $y = mx + p$ , où $m$ est le coefficient directeur (la pente) et $p$ l'ordonnée à l'origine. Elle ne convient pas aux droites verticales.
Équation cartésienne : $ax + by + c = 0$ (avec $a$ et $b$ non tous deux nuls). Cette forme décrit toutes les droites, verticales comprises.

Pour une droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ avec $x_A \neq x_B$ :

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Un vecteur directeur est un vecteur non nul qui donne la direction de la droite : $\overrightarrow{AB}$ en est un, et pour $ax+by+c=0$ on peut prendre $\vec{u}(-b\,;a)$ .

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (pour les équations réduites : même coefficient directeur $m$ ).

Ici $\overrightarrow{AB}(2\,;2)$ , $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4+4} = 2\sqrt2 \approx 2{,}83$ , et $I(2\,;2)$ est bien le milieu de $[AB]$ .

🔢 Méthode — Trouver l'équation réduite d'une droite passant par 2 points

Calcule le coefficient directeur m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} (si x_A \neq x_B ; sinon la droite est verticale, d'équation x = x_A).
Écris y = mx + p avec m maintenant connu.
Remplace x et y par les coordonnées de A, puis résous pour trouver p.
**Vérifie** en testant les coordonnées de B dans l'équation obtenue.

✏️ Exemple — Équation réduite d'une droite

✏️ Exemple — Vecteur directeur et équation cartésienne

💡

Pour prouver que trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés, calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , puis leur déterminant : s'il est nul, les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés. Le même test appliqué à deux vecteurs directeurs prouve le parallélisme de deux droites.

⚠️

La pente $m$ peut être négative (droite décroissante) ou nulle (droite horizontale). Mais une droite verticale $x = a$ n'a aucune équation réduite $y = mx + p$ : son coefficient directeur n'existe pas. C'est précisément pour cela que l'équation cartésienne $ax+by+c=0$ existe — ici $x - a = 0$ .

Attention aussi à l'ordre dans le déterminant : $ad - bc$ , et non $ac - bd$ .

Le déterminant est un détecteur d'alignement à une seule opération. Deux vecteurs, quatre nombres, une soustraction : si le résultat est zéro, ils pointent dans la même direction. Toutes les questions d'alignement et de parallélisme du programme se ramènent à ce petit calcul.

🎯 Mini-quiz

1. Quelle est la distance entre $A(0\,;0)$ et $B(3\,;4)$ ?

2. Quel est le coefficient directeur de la droite passant par $(1\,;3)$ et $(4\,;9)$ ?

3. Quel vecteur est un vecteur directeur de la droite d'équation $3x - 2y + 5 = 0$ ?

Géométrie & vecteurs

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