Géométrie & vecteurs

Au collège : dans un repère, un point $A(2\,;3)$ a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3. Pour aller de $A(2\,;3)$ à $B(5\,;7)$, on avance de $3$ et on monte de $4$.

La distance $AB$ se calcule avec Pythagore dans le triangle rectangle ainsi formé : $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. C'est exactement la formule de la norme d'un vecteur ci-dessous : le déplacement $(3\,;4)$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ dans un repère :

$\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}, \qquad \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Pour $\vec{u}(a\,;b)$, $\vec{v}(c\,;d)$ et un réel $k$ :

Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff \det(\vec u,\vec v) = ad - bc = 0$.

Caractérisation vectorielle du milieu : $I$ est le milieu de $[AB]$ $\iff \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$.

• Équation réduite : $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur (la pente) et $p$ l'ordonnée à l'origine. Elle ne convient pas aux droites verticales.
• Équation cartésienne : $ax + by + c = 0$ (avec $a$ et $b$ non tous deux nuls). Cette forme décrit toutes les droites, verticales comprises.

Pour une droite passant par $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ avec $x_A \neq x_B$ :

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Un vecteur directeur est un vecteur non nul qui donne la direction de la droite : $\overrightarrow{AB}$ en est un, et pour $ax+by+c=0$ on peut prendre $\vec{u}(-b\,;a)$.

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (pour les équations réduites : même coefficient directeur $m$).

✏️ Exemple — Équation réduite d'une droite

✏️ Exemple — Vecteur directeur et équation cartésienne

Pour prouver que trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés, calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis leur déterminant : s'il est nul, les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés. Le même test appliqué à deux vecteurs directeurs prouve le parallélisme de deux droites.

La pente $m$ peut être négative (droite décroissante) ou nulle (droite horizontale). Mais une droite verticale $x = a$ n'a aucune équation réduite $y = mx + p$ : son coefficient directeur n'existe pas. C'est précisément pour cela que l'équation cartésienne $ax+by+c=0$ existe — ici $x - a = 0$.

Attention aussi à l'ordre dans le déterminant : $ad - bc$, et non $ac - bd$.

Le déterminant est un détecteur d'alignement à une seule opération. Deux vecteurs, quatre nombres, une soustraction : si le résultat est zéro, ils pointent dans la même direction. Toutes les questions d'alignement et de parallélisme du programme se ramènent à ce petit calcul.