✅ À retenir

Distance AB = √[(xB−xA)²+(yB−yA)²]. Milieu I : xI=(xA+xB)/2, yI=(yA+yB)/2.
Vecteur \overrightarrow{AB} : coordonnées (x_B - x_A, y_B - y_A). Norme = distance AB.
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur (même pente m).

📖 Définition — Vecteurs dans le plan

Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}, \quad \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Vecteurs colinéaires : $\vec{u}(a,b)$ et $\vec{v}(c,d)$ sont colinéaires $\Leftrightarrow ad - bc = 0$ .

📖 Définition — Équation d'une droite

$y = mx + p$

où $m$ est le coefficient directeur (pente) et $p$ l'ordonnée à l'origine.

Passant par $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$ :

$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \quad \text{(si } x_A \neq x_B\text{)}$

🔢 Méthode — Trouver l'équation d'une droite passant par 2 points

Calcule le coefficient directeur : m = (yB − yA) / (xB − xA).
Écris y = mx + p.
Substitue les coordonnées de A : yA = m·xA + p → résous pour p.
Vérifie avec les coordonnées de B.
Écris la réponse sous la forme y = mx + p.

✏️ Exemple — Équation de droite

💡

Pour vérifier si trois points sont alignés, calcule $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ puis teste la colinéarité : $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$ (déterminant nul).

⚠️

La pente $m$ peut être négative (droite décroissante) ou nulle (droite horizontale). Une droite verticale $x = a$ n'a pas d'équation de la forme $y = mx + p$ .

Le coefficient directeur, c'est l'inclinaison de la droite. Un grand $m$ positif, la droite monte vite. Un $m$ négatif, elle descend. $m = 0$ , la droite est horizontale — simple !

🎯 Mini-quiz

1. Distance entre A(0,0) et B(3,4) ?

2. Coefficient directeur de la droite passant par (1,3) et (4,9) ?

3. Vecteurs colinéaires parmi (2,4) et (1,2) ?