Théorème de Pythagore

Trace un triangle rectangle, puis construis un carré sur chacun de ses trois côtés. L'aire du carré construit sur le plus grand côté est exactement la somme des aires des deux autres carrés. Sur le triangle rectangle de côtés $3$, $4$ et $5$ : $9 + 16 = 25$.

C'est tout le théorème de Pythagore, et c'est pour cela qu'on parle de carrés de longueurs : $BC^2$ est l'aire du carré construit sur le côté $[BC]$. Attention, cela ne marche que si le triangle est rectangle.

Et on le retrouve partout : distances GPS, architecture, jeux vidéo en 3D… chaque fois qu'on calcule une distance en ligne droite, Pythagore est de la partie.

C'est la confusion la plus fréquente, et elle coûte cher. Deux écritures qui se ressemblent ne désignent pas la même chose :

• $[AB]$ (avec les crochets) désigne le côté lui-même, c'est-à-dire le segment tracé entre les points $A$ et $B$. C'est un objet géométrique : on le trace, on le colorie, on dit qu'il est parallèle à un autre.
• $AB$ (sans crochets) désigne la longueur de ce côté, c'est-à-dire un nombre. On le calcule, on le compare, on l'élève au carré.

On écrit donc :

$AB = 5 \text{ cm} \qquad \text{et jamais} \qquad [AB] = 5 \text{ cm}$

Dans tout ce qui suit, $AB$, $AC$ et $BC$ sont des nombres : les longueurs des trois côtés. C'est pour cela qu'on a le droit d'écrire $BC^2$ : on élève un nombre au carré.

En rouge, $[BC]$ : l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit. Les trois étiquettes $AB$, $AC$ et $BC$ sont les longueurs des trois côtés.

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Autrement dit : le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

✏️ Exemple — Calculer la longueur de l'hypoténuse

✏️ Exemple — Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit

✏️ Exemple — Vérifier qu'un triangle est rectangle (réciproque)

Que se passe-t-il quand les deux calculs ne donnent pas le même résultat ?

On n'a pas le droit de dire « la réciproque ne s'applique pas, donc on ne sait pas ». On peut conclure, et de façon certaine — mais avec l'autre théorème, la contraposée :

Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors $ABC$ n'est pas rectangle en $A$.

Et si $[BC]$ est le plus grand côté, alors $A$ était le seul sommet où un angle droit pouvait se trouver : on conclut que $ABC$ n'est pas rectangle du tout. Sans cette précision, on sait seulement qu'il n'est pas rectangle en $A$.

D'où vient-elle ? Le théorème de Pythagore est de la forme « si P, alors Q », avec P : « $ABC$ est rectangle en $A$ » et Q : « $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ».

• La réciproque échange les deux : « si Q, alors P ».
• La contraposée les échange et les nie : « si non Q, alors non P ».

Ce n'est donc pas le théorème « lu à l'envers » (ça, c'est la réciproque). Une propriété et sa contraposée sont vraies en même temps : comme le théorème de Pythagore est vrai, sa contraposée l'est aussi. Le raisonnement tient en trois phrases :

Si le triangle avait été rectangle, alors l'égalité de Pythagore aurait été vérifiée. Or elle ne l'est pas. Donc le triangle n'est pas rectangle.

✏️ Exemple — Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle (contraposée)

Confondre réciproque et contraposée. Les deux répondent à la même question, mais pas dans le même sens :

• les carrés sont égaux → c'est la réciproque qui conclut : le triangle EST rectangle ;
• les carrés sont différents → c'est la contraposée qui conclut : le triangle N'EST PAS rectangle.

Et surtout : une égalité fausse ne permet jamais de dire « il est rectangle ailleurs ». Encore faut-il avoir pris le plus grand côté au départ : c'est lui qui garantit qu'on a testé le seul sommet où un angle droit pouvait se trouver. Cette précaution prise, la conclusion vaut pour le triangle entier. Sans elle, on n'a testé qu'un sommet — et le triangle pourrait très bien être rectangle en $B$ ou en $C$.

Confondre le côté et sa longueur. On n'écrit pas « $[BC]^2$ » ni « le côté $BC$ vaut 5 cm » : un côté ne s'élève pas au carré. On écrit $BC^2$, et « la longueur $BC$ vaut 5 cm » — ou plus simplement « $BC = 5$ cm ».

Appliquer le théorème avec le mauvais côté. L'égalité $BC^2 = AB^2 + AC^2$ n'est valable que si $[BC]$ est l'hypoténuse, donc si l'angle droit est en $A$. Si le triangle est rectangle en $B$, l'égalité devient $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Oublier la racine carrée. Trouver $BC^2 = 169$ et répondre $BC = 169$. Le calcul donne le carré de la longueur : il reste une étape, $BC = \sqrt{169} = 13$ cm.

Quelques triplets pythagoriciens célèbres : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). Ce n'est pas une liste à apprendre, mais un repère sympathique : les reconnaître permet d'anticiper le résultat. On rédige quand même le calcul en entier.