Produit scalaire — Première Spécialité

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, et $\theta$ l'angle entre eux :

1. Géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta$

2. Algébrique : $\vec{u}(x;y) \cdot \vec{v}(x';y') = xx' + yy'$

3. Via les normes : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2}{2}$

4. Projeté : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. En mesures algébriques : $= \overline{AB} \times \overline{AH}$ (le résultat est négatif si $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont de sens contraires).

Dans un triangle $ABC$, en notant $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}$

C'est la « généralisation de Pythagore » : si $\widehat{A} = 90°$, alors $\cos\widehat{A} = 0$ et on retrouve $a^2 = b^2 + c^2$.

Démonstration (produit scalaire) : $a^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = b^2 + c^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$, et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = bc\cos\widehat{A}$.

✏️ Exemple — Applications

$\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un scalaire (nombre), pas un vecteur. On ne peut pas faire $\|\vec{u} \cdot \vec{v}\|$ (pas de norme d'un scalaire), mais on peut calculer $|\vec{u} \cdot \vec{v}|$ (valeur absolue).

De plus : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ implique $\vec{u} \perp \vec{v}$ ou l'un des vecteurs est nul.

Le produit scalaire est omniprésent en physique : le travail d'une force est $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Quand la force est perpendiculaire au déplacement (ascenseur, centripète), le travail est nul — car $\cos(90°) = 0$ !