✅ À retenir

ax^2+bx+c=0 : \Delta=b^2-4ac. Si \Delta>0 : x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. Somme =-b/a, produit =c/a.
Forme canonique : a(x-\alpha)^2+\beta avec \alpha=-\dfrac{b}{2a} et \beta=f(\alpha) (valeur au sommet).
Signe de ax^2+bx+c : même signe que a hors des racines, signe opposé entre les racines (si \Delta>0).

📖 Définition — Discriminant et factorisation

$\Delta = b^2 - 4ac$

Si $\Delta > 0$ : factorisation $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Si $\Delta = 0$ : factorisation $ax^2+bx+c = a(x-x_0)^2$ .

Si $\Delta < 0$ : pas de factorisation dans $\mathbb{R}$ (mais deux racines complexes conjuguées).

📖 Définition — Relations de Viète

Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ ( $a \neq 0$ , $\Delta \geq 0$ ) :

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Usage : connaître la somme et le produit sans calculer les racines. Construire un trinôme à partir de ses racines : $a[x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2]$ .

🔢 Méthode — Résoudre une équation bicarrée

Poser X = x² (substitution).
Résoudre l'équation en X : aX²+bX+c=0.
Pour chaque X ≥ 0 obtenu, résoudre x² = X → x = ±√X.
Rejeter les solutions X < 0 (pas de solution réelle).
Regrouper toutes les solutions en x.

✏️ Exemple — Équation bicarrée

⚠️

Ne pas oublier les deux racines $\pm\sqrt{X}$ pour chaque valeur de X. Et toujours vérifier que $X \geq 0$ avant de prendre la racine — une solution $X < 0$ donne deux racines complexes, pas réelles.

Le discriminant est comme un "oracle" : avant même de calculer les racines, il te dit combien il y en a et de quel type. Un $\Delta$ négatif ne signifie pas "impossible" — les racines existent, elles sont complexes (programme de Terminale).

🎯 Mini-quiz

1. Racines de x²−5x+6=0 par Viète ?

2. Forme canonique de x²+4x−1 ?

3. x²+x+1=0 a :