Équations du second degré

En seconde : $A \times B = 0$ si et seulement si $A = 0$ ou $B = 0$. Les trois identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

L'équation $x^2 = a$ a deux solutions $\pm\sqrt{a}$ si $a > 0$, une seule si $a = 0$, aucune si $a < 0$. Le discriminant généralise exactement cette discussion à toutes les équations du second degré.

$\Delta = b^2 - 4ac$

Si $\Delta > 0$ : factorisation $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$.

Si $\Delta = 0$ : factorisation $ax^2+bx+c = a(x-x_0)^2$.

Si $\Delta < 0$ : aucune racine réelle, donc aucune factorisation de cette forme. La parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses.

Règle unique à retenir : $ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ partout, SAUF strictement entre les racines.

Exemple : signe de $-2x^2+4x+6$. $\Delta = 4^2 - 4\times(-2)\times 6 = 16 + 48 = 64 > 0$, donc $x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm 8}{-4}$ : les racines sont $-1$ et $3$.

Ici $a = -2 < 0$ : le trinôme est négatif à l'extérieur et positif entre les racines. Contrôle : en $x=0$ (entre les racines) on trouve $6 > 0$ ✓ ; en $x=4$ (à l'extérieur) on trouve $-32+16+6 = -10 < 0$ ✓.

Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ ($a \neq 0$, $\Delta \geq 0$) :

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Usage : connaître la somme et le produit sans calculer les racines. Construire un trinôme à partir de ses racines : $a[x^2 - (x_1+x_2)x + x_1 x_2]$.

✏️ Exemple — Équation bicarrée

Ne pas oublier les deux racines $\pm\sqrt{X}$ pour chaque valeur de X. Et toujours vérifier que $X \geq 0$ avant de prendre la racine : une solution $X < 0$ est à rejeter, car aucun réel au carré ne donne un nombre négatif.

Autre confusion très fréquente : $\Delta$ n'est pas une racine. C'est $\sqrt{\Delta}$ qui intervient dans la formule, et $\Delta$ n'a d'utilité que par son signe.

Le discriminant est un « oracle » : avant même de calculer quoi que ce soit, son seul signe te dit combien la parabole a de points d'intersection avec l'axe des abscisses — deux, un, ou aucun. Un seul calcul, et tu connais déjà la forme de la réponse.

Et si $\Delta < 0$ ? L'équation n'a alors aucune solution réelle. Les mathématiciens du XVI^e siècle ont buté des décennies là-dessus avant d'inventer, bien plus tard, de nouveaux nombres pour y répondre — mais c'est une autre histoire, et un autre programme.