Logarithme et trigonométrie — Terminale

En première : $e^x > 0$ pour tout $x$, la fonction est strictement croissante, $e^0 = 1$ et $e^{a+b} = e^a e^b$. Le logarithme est la fonction qui défait l'exponentielle : à chaque $y > 0$ il associe l'unique $x$ tel que $e^x = y$.

Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), $\cos\theta$ est l'abscisse et $\sin\theta$ l'ordonnée du point associé à $\theta$ ; $\pi$ rad $= 180°$, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, et $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\ln : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est l'inverse de $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$.

Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$

Addition :

$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$

Duplication :

$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ $\sin 2a = 2\sin a\cos a$

Linéarisation :

$\cos^2 a = \frac{1+\cos 2a}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1-\cos 2a}{2}$

Dérivées composées : $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$. En particulier $\big(\sin(ax+b)\big)' = a\cos(ax+b)$.

Sur $[0;\pi]$, $\sin$ croît puis décroît (maximum $1$ en $\frac{\pi}{2}$) tandis que $\cos$ est strictement décroissante de $1$ à $-1$.

✏️ Exemple — Équation trigonométrique

✏️ Exemple — Équation logarithmique

Toujours vérifier le domaine des équations logarithmiques. $\ln(f(x))$ n'existe que si $f(x) > 0$. Après résolution, rejeter les solutions qui rendent l'argument négatif ou nul.

Le logarithme, c'est l'outil qui "démultiplie" : il transforme des multiplications en additions, des puissances en multiplications. C'est pour ça qu'il est indispensable en physique (décibels, pH), en finance (taux d'intérêt), et en informatique (complexité algorithmique).