✅ À retenir

\ln(ab)=\ln a+\ln b. \ln(a/b)=\ln a-\ln b. \ln(a^n)=n\ln a. \ln e=1, \ln 1=0.
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b. \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
\cos 2a = \cos^2 a-\sin^2 a = 2\cos^2 a-1. \sin 2a = 2\sin a\cos a.

📖 Définition — Logarithme naturel

$\ln : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est l'inverse de $e^x$ : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ .

Propriété	Formule
Produit	$\ln(ab) = \ln a + \ln b$
Quotient	$\ln(a/b) = \ln a - \ln b$
Puissance	$\ln(a^n) = n\ln a$
Dérivée	$(\ln x)' = 1/x$
Dérivée composée	$(\ln u)' = u'/u$
Limite	$\ln x \to -\infty$ (x→0⁺), $+\infty$ (x→+∞)

Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$

📖 Définition — Formules de trigonométrie

Addition :

$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$ $\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ $\cos(a-b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$

Duplication :

$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ $\sin 2a = 2\sin a\cos a$

Linéarisation :

$\cos^2 a = \frac{1+\cos 2a}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1-\cos 2a}{2}$

📖 Définition — Fonctions sinus et cosinus

Propriété	$\sin$	$\cos$
Parité	impaire : $\sin(-x)=-\sin x$	paire : $\cos(-x)=\cos x$
Périodicité	$2\pi$	$2\pi$
Dérivée	$(\sin x)' = \cos x$	$(\cos x)' = -\sin x$

Dérivées composées : $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$ . En particulier $\big(\sin(ax+b)\big)' = a\cos(ax+b)$ .

Sur $[0;\pi]$ , $\sin$ croît puis décroît (maximum $1$ en $\frac{\pi}{2}$ ) tandis que $\cos$ est strictement décroissante de $1$ à $-1$ .

🔢 Méthode — Résoudre cos x = a ou sin x = a

Vérifier que |a| ≤ 1 (sinon aucune solution).
Repérer sur le cercle trigonométrique une valeur x₀ telle que cos x₀ = a (valeurs remarquables : 0, ±1/2, ±√2/2, ±√3/2, ±1).
Pour cos x = a : les solutions sont x = x₀ + 2kπ et x = −x₀ + 2kπ (symétrie par rapport à l'axe des abscisses).
Pour sin x = a : les solutions sont x = x₀ + 2kπ et x = π − x₀ + 2kπ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
Ne garder que les valeurs de k qui placent x dans l'intervalle demandé — et vérifier les BORNES de cet intervalle.
Contrôler en substituant dans l'équation de départ.

✏️ Exemple — Équation trigonométrique

✏️ Exemple — Équation logarithmique

⚠️

Toujours vérifier le domaine des équations logarithmiques. $\ln(f(x))$ n'existe que si $f(x) > 0$ . Après résolution, rejeter les solutions qui rendent l'argument négatif ou nul.

Le logarithme, c'est l'outil qui "démultiplie" : il transforme des multiplications en additions, des puissances en multiplications. C'est pour ça qu'il est indispensable en physique (décibels, pH), en finance (taux d'intérêt), et en informatique (complexité algorithmique).

🎯 Mini-quiz

1. ln(e³) = ?

2. cos(π/3 + π/4) = ? (forme exacte)

3. Linéarisation de sin²x (écriture sans carré) :

Logarithme et trigonométrie — Terminale

Pour aller plus loin

Autres fiches Terminale Spé