✅ À retenir

Suite arithmétique : u_n = u_0 + nr. Chaque terme = précédent + raison r.
Suite géométrique : u_n = u_0 \times q^n. Chaque terme = précédent \times raison q.
Seuil : trouver n tel que u_n > K (ou < K) par résolution ou tableau de valeurs.

📖 Définition — Suites arithmétiques

Définition : $u_{n+1} = u_n + r$ (raison constante $r$ ).

Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r \quad \text{ou} \quad u_n = u_p + (n-p) \cdot r$

Somme des n premiers termes : $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = \frac{n \cdot (u_0 + u_{n-1})}{2}$

📖 Définition — Suites géométriques

Définition : $u_{n+1} = u_n \times q$ (raison constante $q \neq 0$ ).

Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$

Somme des n premiers termes (si $q \neq 1$ ) : $S = u_0 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}$

🔢 Méthode — Reconnaître le type de suite

Calcule les différences successives : u₁−u₀, u₂−u₁, … Si constantes → arithmétique (raison = cette différence).
Calcule les rapports successifs : u₁/u₀, u₂/u₁, … Si constants → géométrique (raison = ce rapport).
Si ni l'un ni l'autre, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
Pour le terme général : identifie u₀ (ou u₁) et la raison, applique la formule.

✏️ Exemple — Suite arithmétique

✏️ Exemple — Suite géométrique

💡

Le seuil se trouve facilement en dressant un tableau de valeurs pour n = 0, 1, 2, … jusqu'à atteindre la valeur cible. Pour les géométriques avec q > 1, ça monte vite (exponentiel) !

⚠️

Attention à l'indice de départ. $u_1$ ou $u_0$ ? Si la suite est définie à partir de $n=1$ , la formule devient $u_n = u_1 + (n-1)r$ pour l'arithmétique et $u_n = u_1 \times q^{n-1}$ pour la géométrique.

Les suites arithmétiques c'est la structure des comptes bancaires (versements réguliers), les suites géométriques c'est la croissance exponentielle (populations, virus, placements avec intérêts). Les deux sont partout !

🎯 Mini-quiz

1. Suite : 3, 7, 11, 15, … Quel est u₅ ?

2. Suite géométrique : u₀ = 2, q = 3. Quel est u₃ ?

3. Comment reconnaît-on une suite arithmétique ?