Trigonométrie : le cosinus

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est le plus long des trois. Les deux autres sont les côtés de l'angle droit.

Pour le cosinus, on les nomme par rapport à l'angle aigu $\alpha$ qu'on regarde : le côté adjacent à $\alpha$ est celui qui le touche (sans être l'hypoténuse) ; le côté opposé lui fait face. Si tu changes d'angle, adjacent et opposé s'échangent : c'est la première chose à vérifier.

Dans un triangle rectangle, on repère les côtés par rapport à l'angle $\alpha$ qu'on regarde :

• l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit — c'est le plus long, et elle ne change jamais ;
• le côté adjacent à $\alpha$ est celui qui touche $\alpha$ sans être l'hypoténuse ;
• le côté opposé à $\alpha$ est celui d'en face.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{longueur du côté adjacent}}{\text{longueur de l'hypoténuse}}$

Ce rapport ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles ayant le même angle $\alpha$ donnent le même cosinus. C'est le théorème de Thalès qui le garantit — et c'est ce qui permet à la calculatrice de le connaître pour tous les angles.

Pourquoi le cosinus est toujours entre $0$ et $1$. L'hypoténuse est le plus long côté du triangle. Le numérateur est donc toujours plus petit que le dénominateur : le quotient est inférieur à $1$. Si tu trouves $\cos\alpha = 1{,}4$, c'est que tu as inversé la fraction.

✏️ Exemple — Calculer une longueur

✏️ Exemple — Calculer un angle

Confondre adjacent et opposé. L'adjacent touche l'angle $\alpha$ ; l'opposé est en face. Et attention : le côté adjacent change quand on change d'angle ! Dans le même triangle, l'adjacent de $\widehat{A}$ est l'opposé de $\widehat{C}$.

Un réflexe : place ton doigt sur l'angle. Les deux côtés que tu touches sont l'hypoténuse et l'adjacent ; celui que tu ne touches pas est l'opposé.

Utiliser le cosinus dans un triangle qui n'est pas rectangle. Tout ce chapitre suppose un angle droit. Sans lui, ces rapports n'ont pas de sens au collège.

Et le cosinus n'est pas l'outil quand on connaît l'opposé : dans ce cas, c'est Pythagore qui donne le côté manquant, et le cosinus vient ensuite.

Le mot « cosinus » vient d'une chaîne d'erreurs de traduction. L'indien Aryabhata, vers 500, appelait la demi-corde jya. Les Arabes l'ont transcrite jiba, mot sans signification — mais écrit sans voyelles, il se lisait aussi jaib, « la baie, le pli d'un vêtement ». Le traducteur latin Gérard de Crémone, au XIIᵉ siècle, a donc écrit sinus, qui veut dire exactement cela. Nos calculatrices portent encore ce contresens.

Les repères annuels du cycle 4 placent en 3ème les autres lignes trigonométriques : « Les lignes trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) dans le triangle rectangle sont utilisées pour calculer des longueurs ou des angles. » En 4ème, seul le cosinus est exigible — rien de ce qui suit ne te sera demandé cette année.

Les deux autres rapports se lisent sur le même triangle :

$\sin(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

SOH-CAH-TOA se lit par blocs de trois lettres : Sin = Opposé sur Hypoténuse, Cos = Adjacent sur Hypoténuse, Tan = Opposé sur Adjacent. Tu l'apprendras en 3ème ; cette année, la ligne du milieu suffit.

✏️ Exemple — 🚀 Le sinus, en bonus