La translation — 4ème

Tu connais déjà deux transformations :

• la symétrie axiale (6ème) : la figure se retourne de l'autre côté d'une droite, comme dans un miroir ;
• la symétrie centrale (5ème) : la figure fait un demi-tour autour d'un point.

La translation est la troisième, et c'est la plus simple à décrire : la figure glisse. Elle ne tourne pas, elle ne se retourne pas, elle ne change pas de taille.

Tous les points se déplacent exactement de la même quantité. C'est ce « tous » qui fait tout : il suffit de connaître le déplacement d'un point pour construire l'image de la figure entière.

Sur un quadrillage, on décrit le déplacement en comptant les carreaux : « $4$ vers la droite et $3$ vers le bas ». Au lycée, tu apprendras à noter ce déplacement $\vec{u}$ — mais tu n'en as besoin ni maintenant, ni au brevet.

✏️ Exemple — L'image d'un triangle

Une translation conserve tout ce qui se mesure :

C'est ce qui la rend utile pour calculer : si tu connais une longueur ou une aire sur la figure de départ, tu la connais sur l'image, sans rien recalculer.

✏️ Exemple — Calculer sans calculer

Le parallélisme, l'argument le plus utile. Si la droite $(A'B')$ est l'image de $(AB)$ par une translation, alors ces deux droites sont parallèles — toujours, sans exception.

C'est une façon simple de démontrer un parallélisme en 4ème, à côté des angles alternes-internes et de la réciproque de Thalès : « $(A'B')$ est l'image de $(AB)$ par une translation, or une translation conserve le parallélisme, donc $(AB) \parallel (A'B')$. »

Une frise répète un motif le long d'une bande ; un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement.

Regarde une seule chose : l'orientation du motif.

• Le motif garde la même orientation d'un pas à l'autre → c'est une translation.
• Un motif sur deux est retourné comme dans un miroir → il y a une symétrie axiale.
• Un motif sur deux a fait un demi-tour → il y a une symétrie centrale.

Un carrelage ordinaire, un papier peint à rayures, les cases d'un damier : autant de translations.

Croire que le déplacement change la taille. C'est l'erreur la plus fréquente : « la translation déplace de $6$, donc l'aire est multipliée par $6$ ». Non — une translation ne change rien aux mesures. C'est un agrandissement qui multiplie les longueurs, et il n'a rien à voir.

Ne déplacer qu'un seul sommet. Dans une translation, tous les points bougent, et tous du même déplacement. Si ta figure image a changé de forme, c'est que tu as oublié d'appliquer le déplacement à un sommet.

Les pavages sont un des rares endroits où les mathématiques disent « il n'y en a pas d'autres ». En 1891, le cristallographe russe Evgraf Fedorov a démontré qu'il n'existe que 17 façons vraiment différentes de paver le plan avec un motif répété. Les artisans de l'Alhambra de Grenade les avaient toutes utilisées cinq siècles plus tôt, sans le savoir — et la translation est présente dans les dix-sept.