Théorème de Thalès

En 4ème, la configuration était un triangle $ABC$, avec $D$ sur $[AB]$, $E$ sur $[AC]$ et $(DE) \parallel (BC)$. Le petit triangle $ADE$ est une réduction du grand, et on écrit l'égalité des rapports : $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$.

Pour trouver une longueur, on prend deux de ces rapports et on fait un produit en croix : si $\dfrac{3}{5} = \dfrac{x}{8}$, alors $5x = 24$ et $x = 4{,}8$. En 3ème, le point commun aux deux droites peut se trouver entre les parallèles (configuration « papillon »), et le théorème sert aussi dans l'autre sens, pour prouver que deux droites sont parallèles.

Deux droites sécantes se coupent en O. Deux droites parallèles $(d_1)$ et $(d_2)$ les coupent : $(d_1)$ en A et C, $(d_2)$ en B et D.

On a alors :

$\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD}$

✏️ Exemple — Trouver une longueur

✏️ Exemple — Montrer que deux droites sont parallèles (réciproque)

Tu peux vérifier rapidement tes rapports en les simplifiant : $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ et $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$. Même fraction → parallèles.

Mélanger les deux sécantes. $A$ et $B$ sont sur la même sécante, $C$ et $D$ sur l'autre : il faut respecter cet appariement. $\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}$ est correct (et $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ en découle). En revanche $\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC}$ est faux : on a croisé les rôles de $C$ et $D$.

Oublier la configuration « papillon ». Si $O$ est entre les deux parallèles, les deux triangles sont de part et d'autre de $O$ : c'est la configuration dite du papillon. Le théorème s'écrit exactement pareil ($\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD}$), avec des longueurs toujours positives. Ne rejette pas une figure sous prétexte qu'elle ne « ressemble » pas aux triangles emboîtés.

Thalès, c'est une règle de trois déguisée ! Tu vois 3 longueurs et tu cherches la 4ème, exactement comme en proportionnalité.