Fonctions affines et linéaires

Une fonction $f$ est une machine : on lui donne un nombre $x$, elle renvoie un seul nombre, noté $f(x)$ et appelé image de $x$. Si $f(x) = 2x + 1$, alors $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$ : l'image de $3$ est $7$.

Rappel de 4ème : deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient. Sur un graphique, les points sont alors alignés avec l'origine. Les fonctions linéaires de cette fiche sont exactement les fonctions qui traduisent une proportionnalité.

Une fonction affine est de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres fixés.

• $a$ = coefficient directeur (pente de la droite)
• $b$ = ordonnée à l'origine (valeur de $f$ en $x = 0$)

Sa représentation graphique est toujours une droite. (Si $a = 0$, $f$ est constante et la droite est horizontale.)

Si $b = 0$, c'est une fonction linéaire : $f(x) = ax$. Sa représentation passe par l'origine, et $f$ traduit exactement une situation de proportionnalité de coefficient $a$ : si $x$ est multiplié par $k$, $f(x)$ l'est aussi.

⚠️ Une fonction affine avec $b \neq 0$ n'est pas une situation de proportionnalité.

✏️ Exemple — Trouver l'expression de f

Pour lire $a$ sur le graphique : monte de 1 en $x$, regarde de combien monte $y$ — c'est la pente !

Confondre image et antécédent. L'image de $3$ par $f$, c'est $f(3)$. L'antécédent de $7$, c'est le $x$ tel que $f(x) = 7$.

Oublier le signe de $a$. Si $a < 0$, la droite est décroissante. Vérifie toujours la cohérence avec le graphique.

Si tu connais deux points, tu sais tout ! Comme deux clous suffisent pour tendre un fil.