Nombres premiers et fractions irréductibles — 3ème

Tout le chapitre repose sur deux mots vus en 6ème. Partons d'un exemple : $42 = 6 \times 7$, donc la division de $42$ par $6$ (ou par $7$) tombe juste, sans reste.

• On dit que $6$ et $7$ sont des diviseurs de $42$ ;
• et que $42$ est un multiple de $6$ (et de $7$).

Les deux phrases décrivent la même égalité, vue de chaque côté. Les multiples de $6$ sont les nombres de sa table ($0, 6, 12, 18, 24$… il y en a une infinité) ; les diviseurs de $42$ sont tous les nombres qui le divisent sans reste : $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$. On les trouve par paires : $1 \times 42$, $2 \times 21$, $3 \times 14$, $6 \times 7$.

Tout nombre a au moins deux diviseurs : $1$ et lui-même. La question du chapitre, c'est : en a-t-il d'autres ?

Comparons les diviseurs de quelques nombres :

• $12$ : $1, 2, 3, 4, 6, 12$ — six diviseurs ;
• $9$ : $1, 3, 9$ — trois diviseurs ;
• $7$ : $1, 7$ — seulement deux, et impossible d'en trouver d'autres.

Un nombre comme $7$, qui n'a que deux diviseurs ($1$ et lui-même), est un nombre premier. Les nombres premiers jusqu'à 30 :

$2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29$

$2$ est le seul nombre premier pair : tous les autres nombres pairs ont $2$ comme diviseur supplémentaire.

Un nombre qui n'est pas premier peut se « casser » en un produit : $12 = 4 \times 3$. Mais $4$ n'est pas premier, on continue : $12 = 2 \times 2 \times 3$. Là, on est bloqué : tous les facteurs sont premiers.

Tout entier plus grand que $1$ s'écrit ainsi, d'une seule façon (à l'ordre près), comme produit de nombres premiers. C'est sa décomposition en produit de facteurs premiers :

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$

Cette décomposition est l'outil central du chapitre : une fois qu'on la connaît, on lit directement tous les diviseurs d'un nombre.

✏️ Exemple — Rendre 252/168 irréductible

Beaucoup d'énoncés ne parlent pas d'arithmétique, mais s'y ramènent. Il y en a deux types, et la question à se poser n'est pas la même :

« Partager sans reste » → on cherche un diviseur commun. « Une fleuriste a 126 roses et 90 tulipes, et veut faire le plus de bouquets identiques possible. » Le nombre de bouquets doit diviser $126$ et $90$. On décompose : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$. Facteurs communs : $2 \times 3^2 = 18$. Donc 18 bouquets, de $7$ roses et $5$ tulipes.

« Quand est-ce que ça retombe ensemble ? » → on cherche un multiple commun. « Un bus passe toutes les 12 min, l'autre toutes les 18 min. » Les départs du premier sont les multiples de $12$, ceux du second les multiples de $18$. On cherche le premier nombre qui soit dans les deux listes : $12, 24, \mathbf{36}$ et $18, \mathbf{36}$. Ils repartent ensemble 36 minutes plus tard.

Comment savoir si un nombre est premier sans tout tester ? Il suffit d'essayer les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas $n$. Pour $n = 97$ : $2, 3, 5, 7$ suffisent, car $11^2 = 121 > 97$. Aucun ne divise $97$ : il est premier.

$1$ n'est pas un nombre premier : il n'a qu'un seul diviseur, lui-même.

Et attention à ne pas confondre les deux familles ci-dessus. « Le plus grand nombre de paquets » est un diviseur des quantités de départ, donc plus petit qu'elles. « Le premier moment où deux événements coïncident » est un multiple des deux durées, donc plus grand qu'elles. Si ta réponse est plus grande que les nombres de l'énoncé alors que tu partageais, c'est que tu as cherché un multiple au lieu d'un diviseur.

La décomposition en facteurs premiers a l'air d'un jeu scolaire, et c'est la clé de la sécurité de tes paiements en ligne. Multiplier deux grands nombres premiers est instantané ; retrouver ces deux facteurs à partir du produit est si lent qu'aucun ordinateur n'y arrive quand les nombres font 300 chiffres. Toute la cryptographie RSA tient sur cet écart.