Statistiques et probabilités

Pour une série de données ordonnées :

• Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{effectif total}}$
• Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés égales
• Étendue : valeur maximale $-$ valeur minimale
• Fréquence d'une valeur : $f = \dfrac{\text{effectif de cette valeur}}{\text{effectif total}}$

Hors programme du collège : les quartiles et la boîte à moustaches ne figurent pas dans les attendus de 3ème, tu les étudieras en seconde. Ce qui suit est un bonus — rien ne t'en sera demandé au brevet.

Les quartiles découpent la série ordonnée en quatre paquets d'effectifs égaux.

• $Q_1$ : la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
• $Q_3$ : la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
• La médiane joue le rôle de $Q_2$.

Méthode de calcul (série de $N$ valeurs ordonnées) : on calcule $\frac{N}{4}$ ; si le résultat est entier, $Q_1$ est la valeur de ce rang, sinon on arrondit au rang supérieur. Même chose avec $\frac{3N}{4}$ pour $Q_3$.

Écart interquartile $= Q_3 - Q_1$ : il mesure la dispersion de la « moitié centrale » de la série, sans se laisser tromper par les valeurs extrêmes (contrairement à l'étendue).

La boîte à moustaches résume ces cinq nombres : minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum. La boîte va de $Q_1$ à $Q_3$, le trait à l'intérieur est la médiane, et les moustaches vont jusqu'aux valeurs extrêmes.

Lecture : la moitié centrale des élèves a entre $8$ et $15$, et la moitié de la classe a au moins $12$.

Dans une expérience aléatoire équiprobable (tous les résultats sont autant possibles) :

$P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables à } A}{\text{nombre total de cas possibles}}$

$P(A)$ est toujours entre 0 et 1. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

✏️ Exemple — Statistiques d'une classe

✏️ Exemple — Probabilité avec un dé

Confondre moyenne et médiane. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes. Avec les notes 2, 12, 12, 14, la moyenne est 10 mais la médiane est 12.

Oublier d'ordonner les données avant de chercher la médiane. Sur 6 valeurs, la médiane est la moyenne de la 3ᵉ et de la 4ᵉ valeur.

Un dé équilibré ne "se souvient" pas des lancers précédents ! Après 5 fois "face", la proba de "pile" reste toujours $\frac{1}{2}$.

La suite du programme de 3ème — les expériences à deux épreuves, dénombrées dans un tableau à double entrée, et l'événement contraire pour traiter les « au moins un » sont traités dans la fiche Probabilités : deux épreuves et tableau à double entrée. Tu y trouveras aussi, en 🚀 bonus, la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.