Probabilités : deux épreuves et tableau à double entrée

Depuis la 5ème : quand toutes les issues ont la même chance, $P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$, un nombre entre $0$ et $1$. En 4ème, tu as ajouté l'événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Avec un dé, $P(6) = \dfrac{1}{6}$, donc $P(\text{pas } 6) = \dfrac{5}{6}$.

Ici, l'expérience a deux épreuves. La formule ne change pas : la seule nouveauté est de bien compter toutes les issues, et le tableau est fait pour ça.

Quand une expérience se fait en deux temps — deux lancers, deux tirages, deux roues — on n'essaie pas de deviner. On range toutes les issues dans un tableau : la 1re épreuve donne les lignes, la 2e donne les colonnes.

Chaque case du tableau est une issue, et si l'expérience est bien faite, toutes les cases sont également probables. Il ne reste plus qu'à compter :

$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre de cases favorables}}{\text{nombre total de cases}}$

Ici, un sac de 3 rouges et 1 bleue, deux tirages avec remise : $4 \times 4 = 16$ cases, dont $3 \times 3 = 9$ donnent deux rouges. Donc $P(\text{2 rouges}) = \dfrac{9}{16}$.

✏️ Exemple — Deux tirages avec remise

✏️ Exemple — Deux tirages sans remise

✏️ Exemple — Au moins une rouge

Attention aux cases qui ne sont pas également probables. Si le sac contient 3 rouges et 2 bleues et qu'on fait un tableau à 2 lignes (« rouge », « bleue ») et 2 colonnes, les 4 cases n'ont pas la même probabilité — et compter les cases donnerait un résultat faux. Il faut détailler les billes une par une.

Et ne pas confondre les deux situations :

• avec remise → toutes les lignes du tableau sont identiques ;
• sans remise → la diagonale disparaît, et il y a une case de moins par ligne.

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence observée de l'événement $A$ se rapproche de sa probabilité $P(A)$.

Sur 20 lancers d'une pièce, obtenir 13 « pile » (soit 65 %) n'a rien d'étonnant. Sur 10 000 lancers, la fréquence sera très proche de 50 %. C'est la loi des grands nombres, et elle se vérifie facilement par simulation, au tableur ou en Python.

⚠️ C'est la fréquence qui se rapproche de la probabilité — la probabilité, elle, ne change jamais. Un dé n'a pas de mémoire : après dix lancers sans 6, la probabilité d'obtenir 6 reste $\dfrac{1}{6}$.

🚀 Pour aller plus loin — hors programme du collège, la formule t'est donnée. Quand deux événements peuvent se produire en même temps, la probabilité que l'un ou l'autre arrive se calcule ainsi :

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Exemple : une carte tirée parmi 32. $A$ = « c'est un cœur » ($\frac{8}{32}$), $B$ = « c'est un roi » ($\frac{4}{32}$). Une seule carte est les deux à la fois, le roi de cœur ($\frac{1}{32}$). Donc $P(A \cup B) = \frac{8}{32} + \frac{4}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}$.

On retranche $P(A \cap B)$ parce que sinon le roi de cœur serait compté deux fois. Tu reverras cette formule au lycée — et un tableau à double entrée permet de la retrouver en comptant, sans l'apprendre.