✅ À retenir
- P(A\cap B) = P(A) \times P(B) si A et B sont indépendants.
- Dans un arbre, la probabilité d'une issue = produit des probabilités des branches.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud = 1 ; la somme des probabilités de toutes les issues = 1.
- P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
- Loi des grands nombres : plus on répète l'expérience, plus la **fréquence** observée se rapproche de la probabilité.
📖 Définition — Événements indépendants
Deux événements et sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.
Dans ce cas :
Attention : l'indépendance n'est pas la même chose que l'incompatibilité ().
🔢 Méthode — Lire et construire un arbre de probabilités
- Identifier les épreuves successives (1re tirage, 2e tirage...).
- Sur chaque branche, inscrire la probabilité de l'événement correspondant.
- Vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud = 1.
- La probabilité d'une issue = produit des probabilités sur le chemin jusqu'à cette feuille.
- Sommer les branches qui correspondent à l'événement recherché.
La probabilité de 2 rouges = produit des branches : .
✏️ Exemple — Sac de billes — 2 tirages avec remise
✏️ Exemple — 2 tirages sans remise
🔢 Méthode — Calculer P(A∪B) — au moins un des deux événements
- Calculer P(A), P(B), P(A∩B).
- Appliquer la formule : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
- Si A et B sont incompatibles : P(A∩B) = 0, donc P(A∪B) = P(A) + P(B).
✏️ Exemple — Réunion de deux événements
Vérification rapide d'un arbre : additionne toutes les probabilités des feuilles (issues terminales). Si la somme ≠ 1, tu as fait une erreur quelque part.
Ne pas confondre « avec remise » et « sans remise » :
- Avec remise → les épreuves sont indépendantes, les probabilités ne changent pas.
- Sans remise → les probabilités changent à chaque tirage.
📖 Définition — Loi des grands nombres (simulation)
Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence observée de l'événement se rapproche de sa probabilité .
Sur 20 lancers d'une pièce, obtenir 13 « pile » (soit 65 %) n'a rien d'étonnant. Sur 10 000 lancers, la fréquence sera très proche de 50 %. C'est ce qu'on appelle la loi des grands nombres, et on le vérifie facilement par simulation (tableur ou Python).
⚠️ C'est la fréquence qui se rapproche de la probabilité — la probabilité, elle, ne change jamais.
🎯 Mini-quiz
1. Un dé équilibré est lancé deux fois. Les deux lancers sont-ils indépendants ?
2. Un sac contient 4 billes : 1 rouge (R) et 3 bleues (B). On tire 2 billes avec remise. Quelle est P(2 rouges) ?
3. La loi des grands nombres dit que :