✅ À retenir

P(A\cap B) = P(A) \times P(B) si A et B sont indépendants.
Dans un arbre, la probabilité d'une issue = produit des probabilités des branches.
La somme de toutes les probabilités d'un arbre = 1.
Loi des grands nombres : la fréquence f_n \to p quand n \to +\infty.

📖 Définition — Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.

Dans ce cas : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Attention : l'indépendance n'est pas la même chose que l'incompatibilité ( $A \cap B = \emptyset$ ).

🔢 Méthode — Lire et construire un arbre de probabilités

Identifier les épreuves successives (1re tirage, 2e tirage...).
Sur chaque branche, inscrire la probabilité de l'événement correspondant.
Vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud = 1.
La probabilité d'une issue = produit des probabilités sur le chemin jusqu'à cette feuille.
Sommer les branches qui correspondent à l'événement recherché.

✏️ Exemple — Sac de billes — 2 tirages avec remise

✏️ Exemple — 2 tirages sans remise

🔢 Méthode — Calculer P(A∪B) — au moins un des deux événements

Calculer P(A), P(B), P(A∩B).
Appliquer la formule : P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
Si A et B sont incompatibles : P(A∩B) = 0, donc P(A∪B) = P(A) + P(B).

💡

Vérification rapide d'un arbre : additionne toutes les probabilités des feuilles (issues terminales). Si la somme ≠ 1, tu as fait une erreur quelque part.

⚠️

Ne pas confondre « avec remise » et « sans remise » :

Avec remise → les épreuves sont indépendantes, les probabilités ne changent pas.
Sans remise → les probabilités changent à chaque tirage.

📖 Définition — Loi des grands nombres (simulation)

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois $n$ , alors la fréquence de l'événement $A$ se rapproche de $P(A)$ :

$f_n(A) \xrightarrow{n \to +\infty} P(A)$

C'est la loi des grands nombres. On peut le vérifier par simulation informatique (Python, tableur).

🎯 Mini-quiz

1. Un dé équilibré est lancé deux fois. Les deux lancers sont-ils indépendants ?

2. Un sac contient 4 billes : 1 rouge (R) et 3 bleues (B). On tire 2 billes avec remise. Quelle est P(2 rouges) ?

3. La loi des grands nombres dit que :