✅ L'essentiel

\sqrt{a} est le nombre positif dont le carré vaut a : (\sqrt{a})^2 = a pour a \geq 0.
Les carrés parfaits à connaître par cœur : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
Si a^2 < n < (a+1)^2, alors a < \sqrt{n} < a+1 : on encadre \sqrt{n} entre deux entiers.
Quand n n'est pas un carré parfait, on laisse la réponse sous la forme \sqrt{n} : c'est la valeur exacte. La calculatrice ne donne qu'une valeur approchée.
Équation x^2 = a : si a > 0, deux solutions \sqrt{a} et -\sqrt{a} ; si a = 0, une seule (0) ; si a < 0, aucune.
Attention : \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} !

📖 Racine carrée

La racine carrée d'un réel $a \geq 0$ , notée $\sqrt{a}$ , est l'unique réel positif $x$ tel que $x^2 = a$ .

Exemples :

$\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$
$\sqrt{2} \approx 1{,}414$ (irrationnel : pas de fraction exacte)
$\sqrt{0} = 0$ , $\sqrt{1} = 1$

🔢 Méthode — Encadrer une racine carrée (sans calculatrice)

Chercher les deux carrés parfaits qui encadrent le nombre.
Exemple avec \sqrt{30} : 25 < 30 < 36, c'est-à-dire 5^2 < 30 < 6^2.
En déduire l'encadrement : 5 < \sqrt{30} < 6.
Pour affiner au dixième, on essaie : 5{,}4^2 = 29{,}16 et 5{,}5^2 = 30{,}25, donc 5{,}4 < \sqrt{30} < 5{,}5.

🔢 Méthode — Valeur exacte ou valeur approchée ?

Si le nombre est un carré parfait, la racine est un entier : \sqrt{49} = 7.
Sinon, la valeur exacte s'écrit avec le symbole : la valeur exacte est \sqrt{30}, un point c'est tout.
La calculatrice affiche 5{,}477225575... : ce n'est qu'une valeur approchée, jamais la valeur exacte.
Dans un exercice de géométrie, on garde \sqrt{30} cm tant qu'on calcule, et on n'arrondit qu'à la toute fin si l'énoncé le demande.

📖 Résoudre une équation x^2 = a

Ne confonds pas « racine carrée » et « équation $x^2 = a$ » : $\sqrt{a}$ désigne un seul nombre (le positif), alors que l'équation en a souvent deux.

Si $a > 0$ : deux solutions, $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ .
Si $a = 0$ : une seule solution, $x = 0$ .
Si $a < 0$ : aucune solution (un carré n'est jamais négatif).

Exemple : $x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ ou $x = -4$ .

Méthode graphique : on trace la parabole $y = x^2$ et la droite horizontale $y = a$ ; les solutions sont les abscisses des points d'intersection. On retrouve bien deux points si $a > 0$ , un seul si $a = 0$ , aucun si $a < 0$ .

✏️ Exemple — Hypoténuse en valeur exacte

⚠️

$\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}$ . En effet : $\sqrt{25} = 5$ mais $3 + 4 = 7 \neq 5$ .

Sous une racine, on termine le calcul (ici l'addition) avant de prendre la racine.

⚠️

Dans une équation $x^2 = a$ avec $a > 0$ , n'oublie jamais la solution négative : il y en a deux.

Mais attention : si $x$ représente une longueur, on écarte la solution négative à la fin — une longueur ne peut pas être négative.

🔢 Méthode — 🚀 Pour aller plus loin (hors programme)

Ces règles ne sont pas exigibles au collège : tu n'as pas à les apprendre, et quand un exercice en a besoin, il te les rappelle dans l'énoncé. Elles seront au programme de 2nde.
Produit : \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} pour a, b \geq 0. Joli exemple : \sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6 — deux nombres irrationnels dont le produit est entier !
Extraire un carré parfait : \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}.
Additionner une fois les racines devenues semblables : \sqrt{27} + \sqrt{48} = 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}.
Avec l'identité remarquable (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 — elle, au programme de 3e : (\sqrt{10} - \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = 10 - 2 = 8.

$\sqrt{2}$ est le premier nombre irrationnel connu dans l'histoire — les Pythagoriciens ont été choqués par son existence ! Il mesure exactement la diagonale d'un carré de côté $1$ .

🎯 Mini-quiz

1. Entre quels entiers consécutifs se situe \sqrt{40} ?

2. Quelle est la valeur EXACTE de \sqrt{11} ?

3. (\sqrt{5})^2 =

4. Combien l'équation x^2 = 49 a-t-elle de solutions ?

5. Combien l'équation x^2 = -16 a-t-elle de solutions ?

Racines carrées — 3ème

Pour aller plus loin

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