✅ À retenir
- \sqrt{a} est le nombre **positif** dont le carré vaut a : (\sqrt{a})^2 = a (pour a \geq 0).
- Carrés parfaits à connaître : 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144.
- Encadrer \sqrt{n} : trouve les deux carrés parfaits qui encadrent n (ex. 49 < 50 < 64 donc 7 < \sqrt{50} < 8).
- a^n = a \times a \times \cdots \times a (n fois), a^0 = 1, a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.
- a^m \times a^n = a^{m+n} ; \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} ; (a^m)^n = a^{mn} ; (ab)^n = a^n b^n.
📖 Définition — Racine carrée
Pour , la racine carrée de , notée , est l'unique nombre positif dont le carré vaut .
Exemples : , , . Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
Un carré d'aire 9 a un côté de : la racine carrée « défait » le carré.
📖 Définition — Puissance à exposant négatif
Pour et entier positif : .
Exemple : . (Un exposant négatif donne un petit nombre, pas un nombre négatif !)
🔢 Méthode — Règles de calcul sur les puissances
- Même base, multiplication : additionner les exposants → a^3 \times a^5 = a^8.
- Même base, division : soustraire les exposants → a^7 \div a^2 = a^5.
- Puissance d'une puissance : multiplier les exposants → (a^3)^4 = a^{12}.
- Même exposant, bases différentes : a^m \times b^m = (ab)^m.
✏️ Exemple — Applications
: on additionne les exposants → .
Et ! (Ex : , mais .)
La racine carrée et le carré sont des opérations inverses, comme l'addition et la soustraction. Connaître les carrés parfaits par cœur (jusqu'à 12² = 144) te fera gagner un temps fou !
🎯 Mini-quiz
1. $\sqrt{81}$ =
2. $3^4 \times 3^{-2}$ =
3. Entre quels deux entiers consécutifs se trouve $\sqrt{50}$ ?