Racines carrées & puissances — 4ème

En 5ème : le carré d'un nombre, c'est $a^2 = a \times a$, et son cube $a^3 = a \times a \times a$. Ainsi $7^2 = 49$, $12^2 = 144$, $5^3 = 125$. Les noms viennent de la géométrie : $a^2$ est l'aire d'un carré de côté $a$.

Connaître les carrés de $1$ à $15$ fait gagner un temps précieux : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225$. La racine carrée, ci-dessous, est le chemin inverse : de l'aire $144$ au côté $12$.

Pour $a \geq 0$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.

$(\sqrt{a})^2 = a \qquad \sqrt{a^2} = a \ (\text{si } a \geq 0)$

Exemples : $\sqrt{9} = 3$, $\sqrt{144} = 12$, $\sqrt{0} = 0$. Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.

Pour $n$ entier positif, $10^n = 1\underbrace{0\ldots0}_{n \text{ zéros}}$ et $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$.

Exemple : $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001$. Un exposant négatif donne un petit nombre, pas un nombre négatif !

En 4ème, l'exposant négatif n'est utilisé qu'avec la base $10$ (pour la notation scientifique). 🚀 Pour une base quelconque, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ arrive en 3ème.

✏️ Exemple — Applications

$2^3 \times 2^4 \neq 2^{12}$ : on additionne les exposants → $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$.

Et $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ! (Ex : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7$.)

La racine carrée et le carré sont des opérations inverses, comme l'addition et la soustraction. Connaître les carrés parfaits par cœur (jusqu'à 12² = 144) te fera gagner un temps fou !