Proportionnalité, pourcentages & grandeurs composées — 3ème

Vu en 4ème. Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité.

Ici on multiplie toujours par $2{,}5$ : le prix est de $2{,}5$ € le kilo.

Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ : $15\,\%$ de $80$, c'est $\dfrac{15}{100} \times 80 = 12$.

Un prix de $80$ € augmente de $15\,\%$. Le nouveau prix, c'est l'ancien plus $15\,\%$ de l'ancien :

$80 + \dfrac{15}{100} \times 80 = 80 \times \left(1 + \dfrac{15}{100}\right) = 80 \times 1{,}15 = 92$

Une évolution en pourcentage revient donc à une seule multiplication, par le coefficient multiplicateur :

Un coefficient plus grand que $1$ traduit une hausse ; plus petit que $1$, une baisse.

Dans l'autre sens, de $80$ à $92$ : coefficient $\dfrac{92}{80} = 1{,}15$, donc une hausse de $15\,\%$.

✏️ Exemple — Retrouver le prix avant une hausse

Deux évolutions à la suite, ce sont deux multiplications à la suite : on multiplie les coefficients.

Un article augmente de $20\,\%$ puis baisse de $20\,\%$ :

$1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$

Au total, il a baissé de $4\,\%$, il n'est pas revenu à son prix de départ. La baisse s'applique à un prix déjà augmenté : $20\,\%$ d'un nombre plus grand.

Une situation de proportionnalité de coefficient $a$ se modélise par la fonction linéaire $f : x \mapsto ax$.

Un mobile se déplace à $5$ m/s : en $x$ secondes, il parcourt $d(x) = 5x$ mètres. $d(12) = 60$ : en $12$ s, il parcourt $60$ m.

• Le coefficient $a$ est l'image de $1$ : $a = f(1)$.
• Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine.
• Une évolution de $t\,\%$ est elle aussi une fonction linéaire : $x \mapsto 1{,}15\,x$ pour $+15\,\%$.

Une grandeur composée se calcule à partir de deux autres, et son unité le dit :

Convertir des km/h en m/s : $1$ h $= 3\,600$ s et $1$ km $= 1\,000$ m, donc

$72 \text{ km/h} = \dfrac{72\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = 20 \text{ m/s}$

Diviser par $3{,}6$ revient au même : $72 \div 3{,}6 = 20$.

Vérifier l'unité est un réflexe de contrôle : si on cherche une durée et qu'on obtient des km/h, le calcul est faux.

✏️ Exemple — Distance de réaction

Quand on agrandit une figure en multipliant toutes ses longueurs par $k$ :

• les longueurs sont multipliées par $k$ ;
• les aires par $k^2$ (on multiplie deux longueurs) ;
• les volumes par $k^3$ (on en multiplie trois).

Avec $k = 3$ : un carré de $2$ cm de côté devient un carré de $6$ cm ; son aire passe de $4$ cm² à $36$ cm², soit $\times 9$. Un cube de volume $8$ cm³ devient un cube de $216$ cm³, soit $\times 27$.

Une échelle est un coefficient de réduction : à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$, $4$ cm sur la carte représentent $100\,000$ cm $= 1$ km.

La vitesse moyenne n'est pas la moyenne des vitesses. Un aller de $120$ km à $60$ km/h ($2$ h), un retour à $40$ km/h ($3$ h) : on a parcouru $240$ km en $5$ h, soit $48$ km/h, et pas $50$ km/h. On roule plus longtemps à la vitesse lente, elle pèse plus lourd.

Même famille de piège : une hausse de $50\,\%$ est annulée par une baisse de… $\dfrac{1}{3}$ environ ($33\,\%$), pas de $50\,\%$ : $1{,}5 \times \dfrac{2}{3} = 1$.

En soldes, l'affiche « $-30\,\%$, puis $-50\,\%$ supplémentaires en caisse » fait rêver d'un $-80\,\%$. Le coefficient dit la vérité : $0{,}7 \times 0{,}5 = 0{,}35$. Tu paies $35\,\%$ du prix, soit une remise de $65\,\%$. Belle affaire, mais pas celle que l'affiche laisse croire.