Proportionnalité & pourcentages — 4ème

Un tableau de valeurs est un tableau de proportionnalité si toutes les valeurs d'une ligne sont obtenues en multipliant les valeurs de l'autre ligne par un même nombre $k$, appelé coefficient de proportionnalité.

✏️ Exemple — Problème de proportionnalité

Quand une grandeur se calcule à partir d'une autre, on dit qu'elle dépend de cette grandeur, et on peut écrire une formule littérale.

Programme de calcul : « Je choisis un nombre $x$, je le multiplie par 3, puis j'ajoute 4. » → Le résultat s'écrit $3x + 4$ : il dépend de $x$.

Le prix $P$ payé pour $n$ croissants à 1,20 € s'écrit $P = 1{,}20 \times n$ : ici $P$ dépend de $n$, et la situation est de proportionnalité (le coefficient 1,20 est constant).

En revanche, $3x + 4$ n'est pas une situation de proportionnalité : si $x$ double, le résultat ne double pas ($x = 1 \Rightarrow 7$, mais $x = 2 \Rightarrow 10$).

🚀 Bonus (programme de 3ème). Deux évolutions successives ne s'additionnent pas : +10% puis −10% ne revient pas à 0%. Le coefficient global vaut $1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$ → baisse de 1%.

Les pourcentages ont une histoire très concrète : à Rome, l'empereur Auguste prélevait un impôt du centesima rerum venalium — un centième sur les ventes aux enchères. Compter « pour cent » s'est imposé parce que c'était le taux réel des impôts romains. Le symbole %, lui, vient de la déformation manuscrite de l'abréviation italienne p. cento, dont le « 0/0 » s'est petit à petit collé en un seul signe.

Les attendus de fin d'année de 3ème demandent : « Il utilise le lien entre pourcentage d'évolution et coefficient multiplicateur. » En 4ème, un pourcentage est une proportion à calculer ; le passage au coefficient, lui, arrive l'an prochain.

• Augmenter de $t$% revient à multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ : +25% → $\times 1{,}25$.
• Diminuer de $t$% revient à multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$ : −20% → $\times 0{,}80$.
• Deux évolutions successives : on multiplie les coefficients. +20% puis −15% donne $1{,}20 \times 0{,}85 = 1{,}02$, soit une hausse globale de 2%.

Tout l'intérêt est là : une suite d'évolutions devient une seule multiplication, et l'on voit immédiatement pourquoi les pourcentages ne s'additionnent pas.