Phénomènes d'évolution — Suites

Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison :

$u(n+1) = u(n) + r \qquad\text{(relation de récurrence)}$

$u(n) = u(0) + n \times r \qquad\text{(terme de rang } n\text{)}$

Les points de coordonnées $\big(n\,;u(n)\big)$ sont alignés : c'est l'équivalent discret d'une fonction affine $x \mapsto rx + u(0)$, où la raison $r$ joue le rôle du coefficient directeur.

Sens de variation : croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$.

Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé raison :

$u(n+1) = u(n) \times q \qquad\text{et}\qquad u(n) = u(0) \times q^n$

C'est le modèle d'une grandeur dont le taux d'évolution est constant : augmenter de 5 % par an, c'est multiplier par $q = 1{,}05$ chaque année.

Sens de variation (pour une suite à termes strictement positifs) :

✏️ Exemple — Croissance bactérienne et seuil

✏️ Exemple — Seuil dans une croissance linéaire

Pour un seuil en croissance linéaire, l'inéquation se résout à la main. Pour un seuil en croissance géométrique, l'inconnue est en exposant : on utilise un tableau de valeurs (mode suite ou tableur) et on lit le premier rang qui dépasse le seuil. (La résolution avec le logarithme, elle, se verra en terminale.)

Ne confonds pas « ajouter » et « multiplier ». Un loyer qui augmente de 30 € par an est arithmétique ; un loyer qui augmente de 3 % par an est géométrique (on multiplie par 1,03). Les deux paraissent proches au début, mais au bout de 20 ans les écarts sont énormes : le second s'emballe.

Les suites géométriques modélisent tout ce qui « se multiplie » : population, épidémie, placement financier, désintégration radioactive. Une raison à peine supérieure à 1 finit toujours par tout dépasser — c'est exactement ce que veut dire « croissance exponentielle », une expression souvent employée à tort pour dire simplement « rapide ».