Fonctions exponentielles — croissance et décroissance

Pour un réel $a > 0$, on définit la fonction $x \mapsto a^x$ sur $\mathbb{R}$. Elle prolonge naturellement les puissances entières : $a^3$ garde son sens habituel, mais on sait désormais donner un sens à $a^{1{,}5}$ ou $a^{1/3}$.

Elle conserve toutes les propriétés algébriques des puissances :

$a^{x+y} = a^x \times a^y, \qquad \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}, \qquad (a^x)^y = a^{xy}, \qquad a^0 = 1$

Variations et signe :

Dans tous les cas $a^x > 0$ : la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.

L'exposant $\dfrac{1}{n}$ correspond à la racine $n$-ième : $a^{1/n}$ est le nombre positif dont la puissance $n$-ième vaut $a$.

$\left(a^{1/n}\right)^n = a^{\frac{1}{n}\times n} = a^1 = a$

Par exemple $9^{1/2} = 3$ (car $3^2 = 9$) et $8^{1/3} = 2$ (car $2^3 = 8$). C'est exactement ce dont on a besoin pour « répartir » une évolution globale sur $n$ périodes.

✏️ Exemple — Taux d'évolution annuel moyen

✏️ Exemple — Décroissance : la demi-vie

✏️ Exemple — Problème de seuil

Pour estimer un ordre de grandeur sans calculatrice, retiens qu'une croissance de 7 % par an double environ tous les 10 ans ($1{,}07^{10} \approx 1{,}97$). Plus généralement, à $t$ % par an, le doublement prend à peu près $70 \div t$ années — c'est la « règle de 70 », très utilisée en économie.

Le taux moyen n'est pas la moyenne des taux. Après une hausse de 20 % puis une baisse de 20 %, le coefficient global vaut $1{,}2\times0{,}8 = 0{,}96$, et le taux moyen est $0{,}96^{1/2} - 1 \approx -2{,}02$ % par période — surtout pas 0 %. Il faut toujours repasser par les coefficients multiplicateurs.

Une même situation se lit de deux façons : la suite géométrique donne la valeur aux rangs entiers (chaque année), la fonction exponentielle prolonge le modèle entre ces rangs (au bout de 6 mois, soit $x = 0{,}5$). C'est le même phénomène, vu en discret puis en continu — et c'est ce qui permet de parler de demi-vie ou de taux mensuel équivalent.