✅ À retenir

\exp(x)=e^x est définie sur \mathbb{R}, **strictement croissante**, et e^x>0 pour tout x (e\approx 2{,}718).
Propriétés : e^{a+b}=e^a e^b, \dfrac{e^a}{e^b}=e^{a-b}, (e^a)^n=e^{na}, e^0=1, e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}.
Limites : e^x \to 0 quand x\to-\infty ; e^x \to +\infty quand x\to+\infty.
Modèles d'évolution : une grandeur multipliée par un facteur constant à chaque pas suit une exponentielle.

📖 Définition — La fonction exponentielle

Il existe une unique fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$ . On la note $\exp(x) = e^x$ , avec $e \approx 2{,}718$ .

Propriétés algébriques (les plus importantes) :

$e^a \times e^b = e^{a+b}, \quad \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}, \quad (e^a)^n = e^{na}, \quad e^0 = 1, \quad e^{-a} = \frac{1}{e^a}$

Comme $e^x > 0$ partout, la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.

La courbe passe par $(0\,;1)$ , croît de plus en plus vite, et s'aplatit en se rapprochant de l'axe des $x$ vers la gauche (sans jamais le toucher).

🔢 Méthode — Simplifier / résoudre avec l'exponentielle

Pour simplifier : regroupe les exposants avec e^a e^b = e^{a+b} et e^a/e^b = e^{a-b}.
Pour résoudre e^{A}=e^{B} : l'exponentielle est injective, donc A = B.
Pour une inéquation e^{A}<e^{B} : comme exp est croissante, A < B.
Écris le second membre comme une puissance de e si besoin (ex : 1 = e^0).

✏️ Exemple — Simplifier une expression

✏️ Exemple — Modèle de croissance

💡

Pour résoudre $e^{f(x)} = e^{g(x)}$ , l'exponentielle étant strictement croissante et injective, c'est équivalent à $f(x) = g(x)$ . Idem pour les inéquations : $e^{f(x)} < e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ .

⚠️

$e^{a+b} = e^a \times e^b$ (et NON $e^a + e^b$ ). La confusion entre « addition dans l'exposant » et « somme des exponentielles » est l'erreur la plus fréquente.

La fonction exponentielle est la seule (à constante près) égale à sa propre dérivée. C'est pour ça qu'elle modélise toute évolution proportionnelle à la quantité présente : population, intérêts composés, radioactivité…

🎯 Mini-quiz

1. Simplifie e³ × e⁻¹.

2. Quelle est la valeur de e⁰ ?

3. Le signe de eˣ sur ℝ est :

Fonction exponentielle — 1ère

Pour aller plus loin

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