✅ À retenir

Trinôme ax^2+bx+c (a\neq 0) : sa courbe est une **parabole**, tournée vers le haut si a>0, vers le bas si a<0.
Sommet en x=-\dfrac{b}{2a}. Discriminant \Delta=b^2-4ac : 2 racines si \Delta>0, 1 si \Delta=0, aucune si \Delta<0.
Signe du trinôme : du signe de a à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines.

📖 Définition — Trinôme et forme canonique

$f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ .

Forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ .

Sommet : $S(\alpha\,;\,\beta)$ .
Minimum si $a > 0$ , maximum si $a < 0$ .

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta > 0$ : $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

🔢 Méthode — Étudier le signe d'un trinôme

Calcule Δ = b²−4ac.
Si Δ < 0 : f(x) a le signe de a sur ℝ entier (pas de racines réelles).
Si Δ = 0 : f(x) a le signe de a, et s'annule seulement en x₀ = −b/2a.
Si Δ > 0 : calcule x₁ et x₂, puis dresse le tableau de signes.
Lis la réponse sur chaque intervalle.

✏️ Exemple — Résoudre une inéquation du 2e degré

✏️ Exemple — Trouver le sommet

💡

La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale $x = \alpha$ (l'abscisse du sommet). Deux points de même ordonnée sont à égale distance de cette droite.

⚠️

Le signe du discriminant donne le nombre de racines, pas leur signe. Et n'oublie pas : « entre les racines » le trinôme est du signe opposé à $a$ .

Le second degré modélise les trajectoires (un ballon lancé suit une parabole), l'optimisation (aire maximale), le freinage… Le sommet, c'est le point extrême : le plus haut ou le plus bas.

🎯 Mini-quiz

1. Sommet de la parabole f(x) = 2x² − 8x + 5 ?

2. Combien de racines a x² + x + 1 ?

3. Signe de x² + x + 1 sur ℝ ?

Polynômes du second degré — 1ère

Pour aller plus loin

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