✅ À retenir

La courbe de f(x)=ax^2+bx+c (a\neq 0) est une **parabole** : tournée vers le haut si a>0 (minimum), vers le bas si a<0 (maximum).
Sous forme **factorisée** f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), les racines se lisent directement : x_1 et x_2.
Signe : f(x) est du signe de a **à l'extérieur** des racines, et du signe **opposé entre** les racines.

📖 Définition — Parabole et éléments caractéristiques

La courbe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ ) est une parabole.

Élément	Comment le reconnaître
Orientation	vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$
Sommet	le point le plus bas (si $a>0$ ) ou le plus haut (si $a<0$ )
Axe de symétrie	la droite verticale passant par le sommet
Ordonnée à l'origine	$f(0) = c$

Cas simples à reconnaître d'un coup d'œil :

$x \mapsto ax^2$ : sommet à l'origine $O(0\,;0)$ ;
$x \mapsto ax^2 + c$ : la même parabole translatée verticalement de $c$ , sommet $(0\,;c)$ ;
$x \mapsto a(x-x_1)(x-x_2)$ : parabole coupant l'axe des abscisses en $x_1$ et $x_2$ .

🔢 Méthode — Trouver l'axe de symétrie et le sommet

Si f est donnée sous forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) : l'axe de symétrie passe au milieu des racines, en x = (x₁ + x₂)/2.
Sinon, résous l'équation f(x) = c (où c = f(0)) : elle a deux solutions symétriques par rapport à l'axe.
L'abscisse α du sommet est la moyenne de ces deux solutions.
Calcule f(α) : tu obtiens l'ordonnée du sommet, donc le minimum (si a > 0) ou le maximum (si a < 0).

✏️ Exemple — Sommet et axe de symétrie

✏️ Exemple — Étudier le signe à partir de la forme factorisée

✏️ Exemple — Modéliser avec une parabole

💡

Quand la fonction est factorisée, tu n'as aucun calcul à faire pour les racines : $a(x-x_1)(x-x_2)$ s'annule exactement en $x_1$ et $x_2$ . Et l'axe de symétrie est toujours pile au milieu des deux racines — la parabole est symétrique.

⚠️

Entre les racines, le signe est l'opposé de celui de $a$ . Avec $a < 0$ , le trinôme est donc positif entre les racines — beaucoup d'élèves écrivent l'inverse par réflexe. Le test rapide : calcule $f$ en une valeur située entre les deux racines et regarde le signe obtenu.

La parabole décrit la trajectoire d'un ballon, la forme d'un câble de pont suspendu, ou encore le bénéfice d'une entreprise selon son prix de vente. Son intérêt : contrairement à une droite, elle admet un maximum ou un minimum — c'est ce qui permet d'optimiser.

🎯 Mini-quiz

1. Quelles sont les racines de f(x) = (x − 2)(x + 6) ?

2. La parabole de f(x) = (x − 1)(x − 5) a pour axe de symétrie la droite d'équation :

3. Pour f(x) = −2(x + 1)(x − 4), sur quel intervalle a-t-on f(x) > 0 ?

Modélisation quadratique — polynômes du second degré

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