✅ L'essentiel
- La courbe de f(x)=ax^2+bx+c (a\neq 0) est une parabole : tournée vers le haut si a>0 (minimum), vers le bas si a<0 (maximum).
- Sous forme factorisée f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), les racines se lisent directement : x_1 et x_2.
- Signe : f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines.
📖 Rappel — Produit nul et forme factorisée
En seconde : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Donc équivaut à ou .
Tu sais aussi développer : , et étudier le signe d'un produit avec un tableau de signes. Le second degré réunit ces trois outils autour d'une seule courbe, la parabole.
📖 Parabole et éléments caractéristiques
La courbe de (avec ) est une parabole.
| Élément | Comment le reconnaître |
|---|---|
| Orientation | vers le haut si , vers le bas si |
| Sommet | le point le plus bas (si ) ou le plus haut (si ) |
| Axe de symétrie | la droite verticale passant par le sommet |
| Ordonnée à l'origine |
Cas simples à reconnaître d'un coup d'œil :
- : sommet à l'origine ;
- : la même parabole translatée verticalement de , sommet ;
- : parabole coupant l'axe des abscisses en et .
🔢 Méthode — Trouver l'axe de symétrie et le sommet
- Si f est donnée sous forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂) : l'axe de symétrie passe au milieu des racines, en x = (x₁ + x₂)/2.
- Sinon, résous l'équation f(x) = c (où c = f(0)) : elle a deux solutions symétriques par rapport à l'axe.
- L'abscisse α du sommet est la moyenne de ces deux solutions.
- Calcule f(α) : tu obtiens l'ordonnée du sommet, donc le minimum (si a > 0) ou le maximum (si a < 0).
✏️ Exemple — Sommet et axe de symétrie
✏️ Exemple — Étudier le signe à partir de la forme factorisée
✏️ Exemple — Modéliser avec une parabole
Quand la fonction est factorisée, tu n'as aucun calcul à faire pour les racines : s'annule exactement en et . Et l'axe de symétrie est toujours pile au milieu des deux racines — la parabole est symétrique.
Entre les racines, le signe est l'opposé de celui de . Avec , le trinôme est donc positif entre les racines — beaucoup d'élèves écrivent l'inverse par réflexe. Le test rapide : calcule en une valeur située entre les deux racines et regarde le signe obtenu.
La parabole décrit la trajectoire d'un ballon, la forme d'un câble de pont suspendu, ou encore le bénéfice d'une entreprise selon son prix de vente. Son intérêt : contrairement à une droite, elle admet un maximum ou un minimum — c'est ce qui permet d'optimiser.
🎯 Mini-quiz
1. Quelles sont les racines de f(x) = (x − 2)(x + 6) ?
2. La parabole de f(x) = (x − 1)(x − 5) a pour axe de symétrie la droite d'équation :
3. Pour f(x) = −2(x + 1)(x − 4), sur quel intervalle a-t-on f(x) > 0 ?