✅ À retenir
- Probabilité conditionnelle : P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}, la probabilité de A **sachant que** B est réalisé (avec P(B)\neq 0).
- Dans un arbre pondéré : la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1, et on **multiplie** le long d'un chemin.
- A et B sont **indépendants** lorsque P(A\cap B) = P(A)\times P(B), ce qui revient à P_B(A) = P(A).
📖 Définition — Probabilité conditionnelle
Soit un évènement de probabilité non nulle. La probabilité de sachant est
Il faut bien distinguer trois quantités différentes :
| Notation | Ce qu'on calcule | Population de référence |
|---|---|---|
| et se réalisent | tout le monde | |
| se réalise, sachant | seulement ceux qui vérifient | |
| se réalise, sachant | seulement ceux qui vérifient |
On en déduit aussi .
✏️ Exemple — Lire les probabilités dans un tableau croisé
📖 Définition — Indépendance de deux évènements
et sont indépendants lorsque
Autrement dit (si ) : — savoir que est réalisé n'apporte aucune information sur .
⚠️ Indépendants ≠ incompatibles. Deux évènements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble () : loin d'être indépendants, ils sont même très liés — si l'un arrive, l'autre est impossible.
🔢 Méthode — Exploiter un arbre pondéré
- Place au 1er niveau une partition de l'univers (par exemple B et son contraire) : la somme de ces deux probabilités vaut 1.
- Sur les branches du 2e niveau, écris des probabilités conditionnelles ; la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1.
- Multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de l'intersection correspondante.
- Additionne les chemins qui réalisent l'évènement cherché.
- Pour un conditionnement « à l'envers », divise la probabilité du chemin voulu par la probabilité totale trouvée.
✏️ Exemple — Test médical : le piège des faux positifs
✏️ Exemple — Répétition d'épreuves identiques et indépendantes
et ne sont pas la même chose. « 97 % des malades ont un test positif » ne veut pas dire « 97 % des tests positifs sont des malades » — on a vu que c'est 28,4 %. Ce retournement est l'erreur la plus classique en probabilités, et elle a de vraies conséquences en médecine comme en justice.
Un arbre pondéré se vérifie tout seul : la somme des branches issues d'un même nœud doit valoir 1, et la somme des probabilités de tous les chemins complets doit valoir 1 aussi. Ici : . ✓ Si tu ne tombes pas sur 1, il y a une erreur avant d'aller plus loin.
Le calcul du test médical explique pourquoi on ne dépiste pas une maladie rare dans la population entière : même avec un très bon test, la majorité des positifs seraient des faux positifs. Un chiffre isolé ne veut rien dire tant qu'on ne sait pas sur quelle population il est calculé.
🎯 Mini-quiz
1. On sait que P(A ∩ B) = 0,12 et P(B) = 0,4. Que vaut P_B(A) ?
2. Sur 200 élèves, 140 sont demi-pensionnaires et 120 pratiquent un sport, dont 84 demi-pensionnaires. Les évènements « être demi-pensionnaire » et « pratiquer un sport » sont :
3. On répète 3 fois, de façon identique et indépendante, une épreuve dont la probabilité de succès est 0,2. Probabilité d'obtenir au moins un succès ?