✅ À retenir

Produit scalaire : \vec{u}\cdot\vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = \|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|\cos\theta. Orthogonaux \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Espérance : E(X) = \displaystyle\sum_i x_i \cdot P(X=x_i). Valeur moyenne à long terme.
Bayes : P(B|A) = \dfrac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}. Permet de 'retourner' un conditionnement.

📖 Définition — Produit scalaire (plan)

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta$

Propriété	Résultat
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$	$\vec{u}$ et $\vec{v}$ orthogonaux
$\vec{u} \cdot \vec{u} = \\|\vec{u}\\|^2$	Norme au carré
Symétrie	$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
Bilinéarité	$(\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w}$

📖 Définition — Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $x_1, \ldots, x_n$ avec des probabilités $p_1, \ldots, p_n$ ( $\sum p_i = 1$ ).

$E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i \quad \text{(Espérance)}$

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \quad \text{(Variance)}$

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \quad \text{(Écart-type)}$

🔢 Méthode — Calculer P(B|A) par Bayes

Identifie A l'événement observé, B l'hypothèse à retrouver.
Calcule P(A) par la formule des probabilités totales (si besoin).
Applique : P(B|A) = P(A|B)·P(B) / P(A).
Vérifie que P(B|A) + P(B̄|A) = 1.

✏️ Exemple — Espérance d'un jeu

✏️ Exemple — Théorème de Bayes

⚠️

Un jeu d'espérance nulle n'est pas forcément "sans risque". La variance peut être grande. Avec E(X)=0 mais σ=100€, tu peux perdre/gagner des sommes importantes même si "en moyenne" tu équilibres.

Le théorème de Bayes est révolutionnaire : il permet de "retourner" le raisonnement probabiliste. Dans la vraie vie (médecine, justice, IA), on observe les effets pour inférer les causes — c'est exactement ce que fait Bayes.

🎯 Mini-quiz

1. u⃗=(3,4), v⃗=(−4,3). u⃗·v⃗ = ?

2. X prend 2 (p=0,3), 5 (p=0,5), 10 (p=0,2). E(X) = ?

3. Vecteurs u⃗=(1,2) et v⃗=(−2,4) : orthogonaux ?