✅ À retenir

Une série **bivariée** croise **deux variables** mesurées sur les mêmes individus : chaque individu donne un couple (x\,;y), représenté par un point du **nuage de points**.
Le **point moyen** G(\bar{x}\,;\bar{y}) a pour coordonnées les moyennes des x_i et des y_i.
Un **ajustement affine** y = ax + b résume la tendance du nuage quand les points sont presque alignés : il permet de **prévoir** y pour un x non observé.

📖 Définition — Série statistique à deux variables

On mesure deux caractères sur les mêmes individus (par exemple : temps de révision et note obtenue). Deux représentations :

Représentation	Ce qu'elle montre
Tableau croisé d'effectifs	combien d'individus dans chaque combinaison de valeurs (avec totaux en marge)
Nuage de points	chaque individu est un point $(x_i\,;y_i)$ dans un repère

Le nuage révèle une éventuelle tendance : croissante, décroissante, ou aucun lien visible.

📖 Définition — Point moyen du nuage

Le point moyen du nuage est le point $G(\bar{x}\,;\bar{y})$ où :

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \qquad \text{et} \qquad \bar{y} = \frac{y_1 + y_2 + \dots + y_n}{n}$

C'est le « centre de gravité » du nuage. Une bonne droite d'ajustement passe par $G$ (ou tout près).

🔢 Méthode — Utiliser un ajustement affine y = ax + b

Vérifie sur le nuage que les points sont à peu près alignés : sinon, un ajustement affine n'a pas de sens.
Pour prévoir y à partir d'un x donné : remplace x dans la formule y = ax + b.
Pour retrouver x à partir d'un y visé : résous l'équation ax + b = y.
Contrôle la cohérence : la valeur prédite doit s'insérer dans la tendance du nuage.

✏️ Exemple — Point moyen d'un nuage

✏️ Exemple — Prévoir avec la droite d'ajustement

✏️ Exemple — Lire un tableau croisé

💡

Pour vérifier une droite d'ajustement sans refaire tous les calculs, teste-la sur le point moyen : remplace $x$ par $\bar{x}$ et regarde si tu obtiens (presque) $\bar{y}$ . Si ce n'est pas le cas, la droite proposée est mauvaise.

⚠️

Une tendance n'est pas une loi. L'ajustement affine résume les données observées : extrapoler loin du nuage (prévoir $y$ pour un $x$ très éloigné des valeurs mesurées) peut donner des résultats absurdes — une note de $30/20$ pour $11$ h de révision, par exemple. Et un lien entre $x$ et $y$ n'est pas une preuve que $x$ cause $y$ .

C'est l'outil de base de toute la science des données : météo, économie, médecine… on cherche une relation entre deux grandeurs à partir d'un nuage de mesures. La droite d'ajustement que tu utilises ici est l'ancêtre direct de la régression linéaire, au cœur des modèles de prédiction modernes.

🎯 Mini-quiz

1. Le point moyen du nuage (2 ; 5), (4 ; 7), (6 ; 12) est :

2. Avec l'ajustement y = 3x + 2, quelle valeur prévoit-on pour x = 5 ?

3. Dans le tableau croisé de l'exemple, la fréquence de filles parmi les élèves sportifs est :

Statistique bivariée — nuage de points et ajustement affine

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