✅ À retenir

Le nombre dérivé f'(a) est la **pente de la tangente** à la courbe au point d'abscisse a.
Dérivées de référence : (x^n)' = n\,x^{n-1}, (kx)' = k, une constante a pour dérivée 0.
Si f'(x)>0 la fonction **croît**, si f'(x)<0 elle **décroît**. La dérivée s'annule (en changeant de signe) à un **extremum**.

📖 Définition — Taux d'accroissement et nombre dérivé

Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ mesure la pente moyenne :

$\tau(h) = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Quand $h$ devient très petit, ce taux se rapproche d'un nombre fixe : le nombre dérivé $f'(a)$ . C'est la pente de la tangente à la courbe au point $A\big(a\,;\,f(a)\big)$ .

🔢 Méthode — Trouver l'équation de la tangente en a

Calcule f(a) : l'ordonnée du point de contact.
Calcule f'(x) puis f'(a) : la pente de la tangente.
Écris l'équation : y = f'(a)(x − a) + f(a).
Développe si l'énoncé demande la forme y = mx + p.

✏️ Exemple — Tangente à une parabole

✏️ Exemple — Sens de variation par la dérivée

💡

Pour dériver un polynôme, dérive terme par terme : $(3x^2 - 5x + 7)' = 6x - 5$ . La constante disparaît, et chaque $x^n$ descend son exposant en facteur : $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ .

⚠️

Le nombre dérivé $f'(a)$ est une pente, pas une ordonnée. Pour placer le point de contact de la tangente, c'est bien $f(a)$ (et non $f'(a)$ ) qu'il faut calculer. Confondre les deux fausse toute l'équation de la tangente.

La dérivée, c'est la "vitesse de variation" d'une fonction. Là où elle est positive, la courbe monte ; là où elle s'annule, la courbe fait demi-tour (un sommet ou un creux). C'est l'outil n°1 pour trouver un maximum ou un minimum — très utile en optimisation !

🎯 Mini-quiz

1. Quelle est la dérivée de f(x) = x³ − 2x ?

2. f'(a) représente :

3. Si f'(x) < 0 sur un intervalle, alors sur cet intervalle f est :

Introduction à la dérivation — 1ère

Pour aller plus loin

Autres fiches 1ère Générale