✅ À retenir
- Un **axe de symétrie** est une droite telle qu'en pliant la figure sur cet axe, les deux parties se superposent exactement.
- Le symétrique M' d'un point M par rapport à une droite d : cette droite est la médiatrice de [MM'] (perpendiculaire en son milieu).
- La symétrie axiale **conserve** les longueurs, les angles et les aires : la figure image est superposable à la figure de départ.
- Un point situé **sur** l'axe est son propre symétrique : il ne bouge pas.
Axes de symétrie des figures usuelles
📖 Définition — Nombre d'axes de symétrie
| Figure | Nombre d'axes |
|---|---|
| Triangle quelconque | 0 |
| Triangle isocèle (non équilatéral) | 1 |
| Triangle équilatéral | 3 |
| Rectangle (non carré) | 2 (médiatrices des côtés) |
| Losange (non carré) | 2 (diagonales) |
| Carré | 4 (2 médiatrices + 2 diagonales) |
| Cercle | Infinité |
Pour le rectangle et le losange, c'est facile de se tromper : les axes du rectangle sont ses médiatrices (horizontale et verticale), pas ses diagonales — contrairement au losange dont les axes sont bien les diagonales !
Construire le symétrique d'un point
🔢 Méthode — Symétrique de M par rapport à la droite d
- Tracer la perpendiculaire à d passant par M. Elle coupe d en un point H.
- Reporter la distance MH de l'autre côté de d : le point M' vérifie HM' = HM.
- H est le milieu de [MM'], et d est perpendiculaire à MM'.
L'axe d est la médiatrice de [MM'] : H est le milieu et d ⊥ (MM').
✏️ Exemple — Symétrique d'un point dans un quadrillage
Dans un quadrillage, on compte les carreaux : le symétrique est à la même distance de l'axe, de l'autre côté.
Le point , symétrique par rapport à la droite verticale :
est à carreaux à gauche de l'axe. Son symétrique est donc à 4 carreaux à droite : . L'ordonnée ne change pas → .
Le point , symétrique par rapport à la droite horizontale :
est à carreaux sous l'axe, donc est à 3 carreaux au-dessus : . L'abscisse ne change pas → .
Symétrique d'une figure
🔢 Méthode — Construire le symétrique d'un triangle ou d'un polygone
- Construire le symétrique de chaque sommet par rapport à l'axe.
- Relier les images dans le même ordre.
- Vérifier : les longueurs et angles sont conservés, la figure image est superposable à la figure de départ.
Chaque sommet est envoyé sur son symétrique ; la figure image est superposable à la figure de départ.
Pour vérifier qu'une droite est un axe de symétrie d'une figure : plie la figure sur cette droite (mentalement ou sur papier). Si les deux parties se superposent parfaitement → c'est un axe de symétrie !
Ne pas confondre symétrie axiale (par rapport à une droite, comme un miroir ou un pliage) et symétrie centrale (par rapport à un point, comme un demi-tour) — cette dernière sera étudiée en 5ème.
🎯 Mini-quiz
1. Combien d'axes de symétrie possède un losange (non carré) ?
2. Quel est le symétrique du point M(2 ; 3) par rapport à la droite verticale d'équation x = 5 ?
3. Que conserve la symétrie axiale ?