Statistiques et probabilités

Une enquête produit des données : la couleur préférée de chaque élève, le moyen de transport pour venir au collège, la température relevée chaque heure…

Pour s'y retrouver, on range ces données dans un tableau : une colonne par catégorie (ou par heure), et le nombre de fois où chaque catégorie apparaît. Ce nombre est l'effectif de la catégorie. En additionnant tous les effectifs, on obtient l'effectif total.

Un tableau permet aussi de filtrer : « combien d'élèves ne viennent pas en voiture ? » se lit directement : $20 - 2 = 18$.

La proportion d'une catégorie est le rapport entre son effectif et l'effectif total :

$\text{proportion} = \frac{\text{effectif de la catégorie}}{\text{effectif total}}$

C'est toujours un nombre inférieur ou égal à $1$. On l'exprime souvent en pourcentage, c'est-à-dire « sur 100 » : $a\,\%$ est une autre écriture de la fraction $\dfrac{a}{100}$.

Sur 20 élèves, 8 viennent à vélo : la proportion vaut $\dfrac{8}{20}$. Comme $20 \times 5 = 100$, on multiplie numérateur et dénominateur par $5$ : $\dfrac{8}{20} = \dfrac{40}{100} = 40\,\%$.

La somme des proportions de toutes les catégories vaut toujours $1$, soit $100\,\%$ : c'est un bon moyen de vérifier ses calculs.

✏️ Exemple — Lire un diagramme en barres

Dans un diagramme circulaire, chaque catégorie occupe un secteur du disque, et l'angle du secteur est proportionnel à l'effectif. Le disque entier ($360°$) représente l'effectif total.

Si une catégorie représente le quart des données ($25\,\%$), son secteur occupe le quart du disque : $360° \div 4 = 90°$. Si elle représente la moitié, son secteur est un demi-disque : $180°$.

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat (lancer un dé, tirer une bille sans regarder).

Une probabilité est un nombre compris entre $0$ et $1$ : $0$ pour un événement impossible (obtenir 7 avec un dé à six faces), $1$ pour un événement certain. On peut l'écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage : « une chance sur quatre », c'est $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%$.

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (on dit qu'il y a équiprobabilité) :

$\text{probabilité} = \frac{\text{nombre d'issues qui conviennent}}{\text{nombre total d'issues}}$

✏️ Exemple — Tirage dans un sac

Confondre effectif et proportion. L'effectif est un nombre d'élèves (7). La proportion est une part du total ($\dfrac{7}{20}$, soit $35\,\%$). Dire « 7 % des élèves ont eu 12 » est faux.

Une probabilité plus grande que 1. « 3 issues sur 6 » donne $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$, pas $3$. Une probabilité est toujours entre $0$ et $1$ : si tu trouves plus, tu as oublié de diviser par le nombre total d'issues.

Une proportion, c'est « combien sur le total ». Un pourcentage, c'est la même chose ramenée à 100 : 8 vélos sur 20 élèves, c'est comme 40 vélos sur 100 élèves. Le total change, la part reste la même !

🚀 Pour aller plus loin (5ème) : la moyenne. Pour résumer une série de nombres par une seule valeur, on calcule la moyenne : la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. Avec les 20 notes ci-dessus : $\dfrac{4 \times 8 + 6 \times 10 + 7 \times 12 + 3 \times 15}{20} = \dfrac{221}{20} = 11{,}05$. C'est la note que chacun aurait si on partageait tous les points à égalité. Tu l'étudieras en 5ème.